Copo de nieve de Koch

Curva fractal y matemática

Las primeras cuatro iteraciones del copo de nieve de Koch

Las primeras siete iteraciones en animación

Acercándonos a la curva de Koch

Copo de nieve de Koch

Sexta iteración

El copo de nieve de Koch (también conocido como curva de Koch , estrella de Koch o isla de Koch ^{[1] [2]} ) es una curva fractal y uno de los primeros fractales que se han descrito. Se basa en la curva de Koch, que apareció en un artículo de 1904 titulado "Sobre una curva continua sin tangentes, construible a partir de geometría elemental" ^[3] del matemático sueco Helge von Koch .

El copo de nieve de Koch se puede construir de forma iterativa, en una secuencia de etapas. La primera etapa es un triángulo equilátero, y cada etapa sucesiva se forma agregando curvas hacia afuera a cada lado de la etapa anterior, formando triángulos equiláteros más pequeños. Las áreas encerradas por las sucesivas etapas en la construcción del copo de nieve convergen para8/5veces el área del triángulo original, mientras que los perímetros de las etapas sucesivas aumentan sin límite. En consecuencia, el copo de nieve encierra un área finita, pero tiene un perímetro infinito .

Construcción

El copo de nieve de Koch se puede construir comenzando con un triángulo equilátero , luego alterando recursivamente cada segmento de línea de la siguiente manera:

1. divide el segmento de línea en tres segmentos de igual longitud.
2. dibuja un triángulo equilátero que tenga el segmento medio del paso 1 como base y apunte hacia afuera.
3. elimine el segmento de línea que es la base del triángulo del paso 2.

La primera iteración de este proceso produce el contorno de un hexagrama .

El copo de nieve de Koch es el límite aproximado ya que los pasos anteriores se siguen indefinidamente. La curva de Koch descrita originalmente por Helge von Koch se construye utilizando solo uno de los tres lados del triángulo original. En otras palabras, tres curvas de Koch forman un copo de nieve de Koch.

De manera similar, se puede crear una representación basada en la curva de Koch de una superficie nominalmente plana segmentando repetidamente cada línea en un patrón de dientes de sierra de segmentos con un ángulo dado. ^[4]

Una superficie rugosa fractal construida a partir de múltiples iteraciones de curvas de Koch

Propiedades

Perímetro del copo de nieve de Koch

Cada iteración multiplica el número de lados en el copo de nieve de Koch por cuatro, por lo que el número de lados después de n iteraciones viene dado por:

${\displaystyle N_{n}=N_{n-1}\cdot 4=3\cdot 4^{n}\,.}$

Si el triángulo equilátero original tiene lados de longitud s , la longitud de cada lado del copo de nieve después de n iteraciones es:

${\displaystyle S_{n}={\frac {S_{n-1}}{3}}={\frac {s}{3^{n}}}\,,}$

una potencia inversa de tres múltiplos de la longitud original. El perímetro del copo de nieve después de n iteraciones es:

${\displaystyle P_{n}=N_{n}\cdot S_{n}=3\cdot s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.}$

La curva de Koch tiene una longitud infinita , porque la longitud total de la curva aumenta en un factor de4/3con cada iteración. Cada iteración crea cuatro veces más segmentos de línea que en la iteración anterior, siendo la longitud de cada uno1/3la longitud de los segmentos en la etapa anterior. Por lo tanto, la longitud de la curva después de n iteraciones será (4/3) ⁿ veces el perímetro del triángulo original y no tiene límites, ya que n tiende a infinito.

Límite de perímetro

Como el número de iteraciones tiende a infinito, el límite del perímetro es:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty \,,}$

desde |4/3|  > 1.

Un En 4/En 3-Existe una medida dimensional, pero no se ha calculado hasta ahora. Solo se han inventado los límites superior e inferior. ^[5]

Área del copo de nieve de Koch

En cada iteración se agrega un nuevo triángulo a cada lado de la iteración anterior, por lo que el número de nuevos triángulos agregados en la iteración n es:

${\displaystyle T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}={\frac {3}{4}}\cdot 4^{n}\,.}$

El área de cada nuevo triángulo agregado en una iteración es 1/9del área de cada triángulo agregado en la iteración anterior, por lo que el área de cada triángulo agregado en la iteración n es:

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}}{9}}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}\,.}$

donde un ₀ es el área del triángulo original. Por lo tanto, el área nueva total agregada en la iteración n es:

${\displaystyle b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}={\frac {3}{4}}\cdot {\left({\frac {4}{9}}\right)}^{n}\cdot a_{0}}$

El área total del copo de nieve después de n iteraciones es:

${\displaystyle A_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)\,.}$

Al contraer la suma geométrica se obtiene:

${\displaystyle A_{n}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{5}}\left(1-\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\right)={\frac {a_{0}}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.}$

Límites de área

El límite del área es:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)={\frac {8}{5}}\cdot a_{0}\,,}$

desde |4/9|  <1.

Por lo tanto, el área del copo de nieve de Koch es 8/5del área del triángulo original. Expresado en términos de la longitud del lado s del triángulo original, esto es: ^[6]

${\displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}$

Sólido de revolución

El volumen del sólido de revolución del copo de nieve de Koch alrededor de un eje de simetría del triángulo equilátero inicial del lado de la unidad es ^[7]${\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .}$

Otras propiedades

El copo de nieve de Koch se auto-replica con seis copias más pequeñas rodeando una copia más grande en el centro. Por lo tanto, es un mosaico irrep-7 (ver Rep-tile para discusión).

La dimensión fractal de la curva de Koch esEn 4/En 3 ≈ 1,26186. Esto es mayor que la de una línea (= 1), pero menor que la de Peano 's de relleno de espacio curva (= 2).

La curva de Koch es continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna parte.

Teselado del plano

Teselado por dos tamaños de copo de nieve de Koch

Es posible teselar el avión con copias de los copos de nieve de Koch en dos tamaños diferentes. Sin embargo, tal teselado no es posible usando solo copos de nieve de un tamaño. Dado que cada copo de nieve de Koch en el mosaico se puede subdividir en siete copos de nieve más pequeños de dos tamaños diferentes, también es posible encontrar mosaicos que usen más de dos tamaños a la vez. ^{[8] Los} copos de nieve de Koch y los copos de nieve de Koch del mismo tamaño se pueden utilizar para revestir el avión.

Secuencia de Thue-Morse y gráficos de tortugas

Un gráfico de tortuga es la curva que se genera si se programa un autómata con una secuencia. Si los miembros de la secuencia Thue-Morse se utilizan para seleccionar los estados del programa:

• Si t ( n ) = 0 , avanza una unidad,
• Si t ( n ) = 1 , gire en sentido antihorario en un ángulo deπ/3,

la curva resultante converge al copo de nieve de Koch.

Representación como sistema Lindenmayer

La curva de Koch se puede expresar mediante el siguiente sistema de reescritura ( sistema Lindenmayer ):

Alfabeto  : F

Constantes  : +, -

Axioma  : F

Reglas de producción :

F → F + F - F + F

Aquí, F significa "avanzar", - significa "girar a la derecha 60 °" y + significa "girar a la izquierda 60 °".

Para crear el copo de nieve de Koch, se usaría F - F - F (un triángulo equilátero) como axioma.

Variantes de la curva de Koch

Siguiendo el concepto de von Koch, se diseñaron varias variantes de la curva de Koch, considerando ángulos rectos ( cuadráticos ), otros ángulos ( Cesàro ), círculos y poliedros y sus extensiones a mayores dimensiones (Sphereflake y Kochcube, respectivamente)

Variante ( dimensión , ángulo )	Ilustración	Construcción
≤1D, ángulo de 60-90 °	Fractal Cesàro (85 °)	El fractal Cesàro es una variante de la curva de Koch con un ángulo entre 60 ° y 90 °. [ cita requerida ] Primeras cuatro iteraciones de un antisnowflake Cesàro (cuatro curvas de 60 ° dispuestas en un cuadrado de 90 °)
≈1.46D, ángulo de 90 °	Curva cuadrática tipo 1	Primeras dos iteraciones
1.5D, ángulo de 90 °	Curva cuadrática tipo 2	Salchicha Minkowski [9] Primeras dos iteraciones. Su dimensión fractal es igual a3/2 y está exactamente a medio camino entre la dimensión 1 y 2. Por lo tanto, a menudo se elige cuando se estudian las propiedades físicas de los objetos fractales no enteros.
≤2D, ángulo de 90 °	Tercera iteración	Isla Minkowski Cuatro curvas cuadráticas de tipo 2 dispuestas en un cuadrado
≈1.37D, ángulo de 90 °	Escama cuadrática	4 curvas cuadráticas de tipo 1 dispuestas en un polígono: Primeras dos iteraciones. Conocida como la " Salchicha de Minkowski ", [10] [11] [12] su dimensión fractal es igual aEn 3/en √ 5 = 1.36521. [13]
≤2D, ángulo de 90 °	Antiflake cuadrático	Curva anti -punto de cruz , el tipo de escamas cuadráticas 1, con las curvas mirando hacia adentro en lugar de hacia afuera ( fractal de Vicsek )
≈1.49D, ángulo de 90 °	Cruz cuadrática	Otra variante. Su dimensión fractal es igual aEn 3.33/en √ 5 = 1,49.
≤2D, ángulo de 90 °	Isla cuadrática [14]	Curva cuadrática, iteraciones 0, 1 y 2; dimensión deEn 18/En 6≈1.61
≤2D, ángulo de 60 °	superficie von Koch	Primeras tres iteraciones de una extensión natural de la curva de Koch en dos dimensiones.
≤2D, ángulo de 90 °	Superficie cuadrática tipo 1	Extensión de la curva cuadrática tipo 1. La ilustración de la izquierda muestra el fractal después de la segunda iteración. Superficie cuadrática de animación .
≤3D, cualquiera	Curva de Koch en 3D	Un fractal tridimensional construido a partir de curvas de Koch. La forma puede considerarse una extensión tridimensional de la curva en el mismo sentido que la pirámide de Sierpiński y la esponja de Menger pueden considerarse extensiones del triángulo de Sierpinski y la alfombra de Sierpinski . La versión de la curva utilizada para esta forma utiliza ángulos de 85 °.

Los cuadrados se pueden utilizar para generar curvas fractales similares. Comenzando con un cuadrado unitario y agregando a cada lado en cada iteración un cuadrado con una dimensión de un tercio de los cuadrados en la iteración anterior, se puede mostrar que tanto la longitud del perímetro como el área total están determinados por progresiones geométricas. La progresión del área converge a 2 mientras que la progresión del perímetro diverge al infinito, por lo que, como en el caso del copo de nieve de Koch, tenemos un área finita delimitada por una curva fractal infinita. ^[15] El área resultante llena un cuadrado con el mismo centro que el original, pero el doble del área, y girado porπ/4 radianes, el perímetro se toca pero nunca se superpone.

El área total cubierta en el n º iteración es:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,}$

mientras que la longitud total del perímetro es:

${\displaystyle P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,}$

que se acerca al infinito a medida que n aumenta.

Ver también

• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
• Cuerno de Gabriel (área de superficie infinita pero encierra un volumen finito)
• Curva de Gosper (también conocida como curva de Peano-Gosper o flownake )
• Curva de Osgood
• Auto-semejanza
• Teragon
• Función Weierstrass
• Paradoja de la costa

Referencias

1. Addison, Paul S. (1997). Fractales y caos: un curso ilustrado . Instituto de Física. pag. 19. ISBN 0-7503-0400-6.
2. Lauwerier, Hans (1991). Fractales: Figuras geométricas repetidas sin fin . Traducido por Gill-Hoffstädt, Sophia. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 36. ISBN 0-691-02445-6. Mandelbrot llamó a esto una isla Koch.
3. von Koch, Helge (1904). "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" . Arkiv för matematik, astronomi och fysik (en francés). 1 : 681–704. JFM 35.0387.02 . 
4. Alonso-Marroquin, F .; Huang, P .; Hanaor, D .; Flores-Johnson, E .; Proust, G .; Gan, Y .; Shen, L. (2015). "Fricción estática entre superficies fractales rígidas" (PDF) . Revisión E física . 92 (3): 032405. doi : 10.1103 / PhysRevE.92.032405 . hdl : 2123/13835 . PMID 26465480 .   - Estudio de superficies fractales mediante curvas de Koch.
5. Zhu, Zhi Wei; Zhou, Zuo Ling; Jia, Bao Guo (octubre de 2003). "En el límite inferior de la medida de Hausdorff de la curva de Koch". Acta Mathematica Sinica . 19 (4): 715–728. doi : 10.1007 / s10114-003-0310-2 . S2CID 122517792 . 
6. "Copo de nieve de Koch" . ecademy.agnesscott.edu .
7. McCartney, Mark (16 de abril de 2020). "El área, centroide y volumen de revolución de la curva de Koch". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 0 : 1–5. doi : 10.1080 / 0020739X.2020.1747649 . ISSN 0020-739X . 
8. Burns, Aidan (1994). "Azulejos fractales". Gaceta matemática . 78 (482): 193–6. doi : 10.2307 / 3618577 . JSTOR 3618577 . .
9. Paul S. Addison, Fractales y caos: un curso ilustrado , p. 19, CRC Press, 1997 ISBN 0849384435 . 
10. Weisstein, Eric W. (1999). " Salchicha de Minkowski ", archive.lib.msu.edu . Consultado: 21 de septiembre de 2019.
11. Pamfilos, París. " Salchicha de Minkowski ", user.math.uoc.gr/~pamfilos/ . Consultado: 21 de septiembre de 2019.
12. Weisstein, Eric W. "Salchicha de Minkowski" . MathWorld . Consultado el 22 de septiembre de 2019 .
13. Mandelbrot, BB (1983). La geometría fractal de la naturaleza , p. 48. Nueva York: WH Freeman. ISBN 9780716711865 . Citado en Weisstein, Eric W. "Minkowski Sausage" . MathWorld . Consultado el 22 de septiembre de 2019 .  .
14. Appignanesi, Richard; ed. (2006). Presentamos la geometría fractal . Icono. ISBN 978-1840467-13-0 . 
15. Demostrado por James McDonald en una conferencia pública en la Universidad KAUST el 27 de enero de 2013. "Copia archivada" . Archivado desde el original el 12 de enero de 2013 . Consultado el 29 de enero de 2013 . Consultado el 29 de enero de 2013.

Lectura adicional

• Kasner, Edward; Newman, James (2001) [1940]. "IX Cambio y variabilidad § El copo de nieve" . Matemáticas e imaginación . Prensa de Dover . págs. 344–351. ISBN 0-486-41703-4.

Enlaces externos

Video externo
Fractal de copo de nieve de Koch - Academia Khan

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la curva de Koch .

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• (2000) "von Koch Curve", Laboratorio de Computación de efg en Wayback Machine (archivado el 20 de julio de 2017)
• El poema de la curva de Koch de Bernt Wahl , Wahl.org . Consultado el 23 de septiembre de 2019.
• Weisstein, Eric W. "Copo de nieve de Koch" . MathWorld . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
  • "7 iteraciones de la curva de Koch" . Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
  • "Curvas Fractal Cuadradas de Koch" . Proyecto de demostraciones Wolfram . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
  • "Superficie fractal cuadrada de Koch" . Proyecto de demostraciones Wolfram . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
• Aplicación de la curva de Koch a una antena
• Una animación WebGL que muestra la construcción de la superficie de Koch , tchaumeny.github.io . Consultado el 23 de septiembre de 2019.
• "Un análisis matemático de la curva de Koch y la curva de Koch cuadrática" (PDF) . Archivado desde el original (pdf) el 26 de abril de 2012 . Consultado el 22 de noviembre de 2011 .