Longitud de arco

La determinación de la longitud de un segmento de arco irregular también se denomina rectificación de una curva. El advenimiento del cálculo infinitesimal condujo a una fórmula general que proporciona soluciones de forma cerrada en algunos casos.

Una curva en el plano se puede aproximar conectando un número finito de puntos en la curva usando segmentos de línea para crear una trayectoria poligonal . Dado que es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal (usando el teorema de Pitágoras en el espacio euclidiano, por ejemplo), la longitud total de la aproximación se puede encontrar sumando las longitudes de cada segmento lineal;esa aproximación se conoce como distancia cordal (acumulativa) . ^[1]

Si la curva no es ya una trayectoria poligonal, el uso de un número progresivamente mayor de segmentos de longitudes más pequeñas dará como resultado mejores aproximaciones. Las longitudes de las aproximaciones sucesivas no disminuirán y pueden seguir aumentando indefinidamente, pero para curvas suaves tenderán a un límite finito a medida que las longitudes de los segmentos se vuelven arbitrariamente pequeñas .

Para algunas curvas, hay un número más pequeño que es un límite superior en la longitud de cualquier aproximación poligonal. Estas curvas se denominan rectificables y el número se define como la longitud del arco .${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$

Sea una función inyectiva y continuamente diferenciable . La longitud de la curva definida por se puede definir como el límite de la suma de las longitudes de los segmentos de línea para una partición regular de cuando el número de segmentos se acerca al infinito. Esto significa${\ Displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle [a, b]}$

donde para Esta definición es equivalente a la definición estándar de longitud de arco como integral:${\ Displaystyle t_ {i} = a + i (ba) / N = a + i \ Delta t}$${\ Displaystyle i = 0,1, \ dotsc, N.}$

Cuando se rectifica, la curva da un segmento de línea recta con la misma longitud que la longitud del arco de la curva.

Longitud del arco s de una espiral logarítmica en función de su parámetro θ .

Aproximación por múltiples segmentos lineales

Cuarto de círculo

Método de Fermat para determinar la longitud del arco

La curva de Koch.

La gráfica de x sin (1 / x ).