En análisis matemático , la desigualdad de Korn es una desigualdad relativa al gradiente de un campo vectorial que generaliza el siguiente teorema clásico: si el gradiente de un campo vectorial es simétrico en cada punto, entonces el gradiente debe ser igual a una simétrica oblicua constante matriz. El teorema de Korn es una versión cuantitativa de esta afirmación, que intuitivamente dice que si el gradiente de un campo vectorial está en promedio no lejos del espacio de matrices simétricas sesgadas, entonces el gradiente no debe estar lejos de una matriz simétrica sesgada particular . La afirmación de que la desigualdad de Korn se generaliza surge así como un caso especial de rigidez .
En la teoría de la elasticidad (lineal) , la parte simétrica del gradiente es una medida de la deformación que experimenta un cuerpo elástico cuando es deformado por una función determinada con valores vectoriales. Por tanto, la desigualdad es una herramienta importante como estimación a priori en la teoría de la elasticidad lineal.
Declaración de la desigualdad
Sea Ω un dominio abierto y conectado en el espacio euclidiano n - dimensional R n , n ≥ 2 . Sea H 1 (Ω) el espacio de Sobolev de todos los campos vectoriales v = ( v 1 , ..., v n ) en Ω que, junto con sus (primeras) derivadas débiles, se encuentran en el espacio de Lebesgue L 2 (Ω) . Denotando la derivada parcial con respecto al i- ésimo componente por ∂ i , la norma en H 1 (Ω) está dada por
Entonces hay una constante C ≥ 0 , conocida como la constante de Korn de Ω , tal que, para todo v ∈ H 1 (Ω) ,
( 1 )
donde e denota el gradiente simétrizado dado por
La desigualdad (1) se conoce como desigualdad de Korn .
Ver también
Referencias
- Cioranescu, Doina; Oleinik, Olga Arsenievna ; Tronel, Gérard (1989), "Sobre las desigualdades de Korn para estructuras y uniones de tipo marco" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , Série I: Mathématiques, 309 (9): 591–596, MR 1053284 , Zbl 0937.35502.
- Horgan, Cornelius O. (1995), "Desigualdades de Korn y sus aplicaciones en la mecánica del continuo", SIAM Review , 37 (4): 491–511, doi : 10.1137 / 1037123 , ISSN 0036-1445 , MR 1368384 , Zbl 0840.73010.
- Oleinik, Olga Arsenievna ; Kondratiev, Vladimir Alexandrovitch (1989), "Sobre las desigualdades de Korn" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , Série I: Mathématiques, 308 (16): 483–487, MR 0995908 , Zbl 0698.35067.
- Oleinik, Olga A. (1992), "Desigualdades del tipo de Korn y aplicaciones a la elasticidad", en Amaldi, E .; Amerio, L .; Fichera, G .; Gregory, T .; Grioli, G .; Martinelli, E .; Montalenti, G .; Pignedoli, A .; Salvini, Giorgio ; Scorza Dragoni, Giuseppe (eds.), Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8-11 de octubre de 1990) , Atti dei Convegni Lincei (en italiano), 92 , Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 183–209, ISSN 0391 -805X , MR 1783034 , Zbl 0972.35013 , archivado desde el original el 7 de enero de 2017 , consultado el 27 de julio de 2014.
enlaces externos
- Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Desigualdad de Korn" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press