Ecuación de Korteweg-De Vries
En matemáticas , la ecuación de Korteweg-De Vries (KdV) es un modelo matemático de ondas en superficies de aguas poco profundas. Es particularmente notable como el ejemplo prototípico de un modelo exactamente solucionable , es decir, una ecuación diferencial parcial no lineal cuyas soluciones se pueden especificar con exactitud y precisión. KdV se puede resolver por medio de la transformada de dispersión inversa . La teoría matemática detrás de la ecuación KdV es un tema de investigación activa. La ecuación KdV fue introducida por primera vez por Boussinesq ( 1877 , nota al pie en la página 360) y redescubierta por Diederik Korteweg y Gustav de Vries . ( 1895 ). [2]
La ecuación KdV es una ecuación diferencial parcial dispersiva no lineal para una función de dos variables reales adimensionales , x y t , que son proporcionales al espacio y al tiempo respectivamente: [3]
La constante 6 delante del último término es convencional pero no tiene gran importancia: la multiplicación de t , x , y por constantes se puede utilizar para hacer que los coeficientes de cualquiera de los tres términos sean iguales a cualquier constante distinta de cero dada.
Considere soluciones en las que una forma de onda fija (dada por f ( X )) mantiene su forma mientras viaja hacia la derecha a una velocidad de fase c . Tal solución viene dada por φ ( x , t ) = f ( x − ct − a ) = f ( X ). Sustituyéndolo en la ecuación de KdV se obtiene la ecuación diferencial ordinaria
donde A es una constante de integración . Al interpretar la variable independiente X anterior como una variable de tiempo virtual, esto significa que f satisface la ecuación de movimiento de Newton de una partícula de unidad de masa en un potencial cúbico
entonces la función potencial V ( f ) tiene un máximo local en f = 0, hay una solución en la que f ( X ) comienza en este punto en 'tiempo virtual' −∞, eventualmente se desliza hacia abajo hasta el mínimo local , luego retrocede por el otro lado, alcanzando la misma altura, luego invierte la dirección, terminando nuevamente en el máximo local en el tiempo ∞. En otras palabras, f ( X ) tiende a 0 cuando X → ±∞. Esta es la forma característica de la solución de onda solitaria .
