En matemáticas, una resolución Koszul-Tate o Koszul-Tate complejo del anillo cociente R / M es una resolución proyectiva de la misma como un R -módulo que también tiene una estructura de un dg-álgebra sobre R , donde R es un anillo conmutativo y M ⊂ R es un ideal . Fueron introducidos por Tate ( 1957 ) como una generalización de la resolución de Koszul para el cociente R /( x 1 , ....,x n ) de R por una secuencia regular de elementos. Friedemann Brandt, Glenn Barnich y Marc Henneaux ( 2000 ) utilizaron la resolución Koszul-Tate para calcular la cohomología BRST . El diferencial de este complejo se denomina derivación Koszul-Tate o diferencial Koszul-Tate .
Primero suponga por simplicidad que todos los anillos contienen los números racionales Q. Supongamos que tenemos un anillo X superconmutativo graduado , de modo que
(El anillo polinomial se entiende en el supersentido, por lo que si T tiene un grado impar, entonces T 2 = 0.) El resultado de agregar el elemento T es eliminar el elemento de la homología de X representado por x , y Y sigue siendo un anillo superconmutativo con derivación.
Una resolución Koszul-Tate de R / M se puede construir de la siguiente manera. Empezamos con el anillo conmutativo R (graduado de modo que todos los elementos tengan grado 0). Luego agregue nuevas variables como arriba del grado 1 para eliminar todos los elementos de la M ideal en la homología. Luego siga agregando más y más variables nuevas (posiblemente un número infinito) para acabar con toda homología de grado positivo. Terminamos con un anillo graduado superconmutativo con derivación d cuya homología es simplemente R / M .
Si no estamos trabajando sobre un campo de característica 0, la construcción anterior aún funciona, pero generalmente es mejor usar la siguiente variación. En lugar de usar anillos de polinomios X [ T ], se puede usar un "anillo de polinomios con potencias divididas" X〈T〉, que tiene una base de elementos