En matemáticas , el complejo de Koszul fue introducido por primera vez para definir una teoría de cohomología para álgebras de Lie , por Jean-Louis Koszul (ver Cohomología de álgebra de Lie ). Resultó ser una construcción general útil en álgebra homológica . Como herramienta, su homología se puede usar para saber cuándo un conjunto de elementos de un anillo (local) es una secuencia M-regular y, por lo tanto, se puede usar para probar hechos básicos sobre la profundidad de un módulo o ideal que es un Noción algebraica de dimensión relacionada con la noción geométrica de la dimensión de Krull, pero diferente a ella.. Además, en determinadas circunstancias, el complejo es el complejo de sicigias , es decir, te dice las relaciones entre los generadores de un módulo, las relaciones entre estas relaciones, etc.
Definición
Deje que R sea un anillo conmutativo y E un módulo libre de rango finito r sobre R . Nosotros escribimospara la i -ésima potencia exterior de E . Luego, dado un mapa lineal R, El complejo Koszul asociado a s es el complejo de la cadena de R -modules:
,
donde el diferencial viene dado por: para cualquier en E ,
.
El superíndice significa que se omite el término. (Demostraciónes sencillo; alternativamente, esta identidad también sigue usando la # Auto-dualidad de un complejo de Koszul).
Tenga en cuenta que y . Tenga en cuenta también que; este isomorfismo no es canónico (por ejemplo, la elección de una forma de volumen en geometría diferencial proporciona un ejemplo de tal isomorfismo).
Si (es decir, se elige una base ordenada), luego, dando un mapa lineal R equivale a dar una secuencia finita de elementos en R (es decir, un vector de fila) y luego uno establece
Si M es un módulo R generado de forma finita , entonces uno establece:
,
que es de nuevo un complejo de cadena con el diferencial inducido .
La i -ésima homología del complejo de Koszul
se llama la i -ésima homología de Koszul . Por ejemplo, si y es un vector de fila con entradas en R , entonces es
y entonces
Similar,
Complejos de Koszul en dimensiones reducidas
Dado un anillo conmutativo R , un elemento x en R y un R - módulo M , la multiplicación por x produce un homomorfismo de R - módulos,
Considerando esto como un complejo de cadena (poniéndolos en grados 1 y 0, y agregando ceros en otros lugares), se denota por. Por construcción, las homologías son
el aniquilador de x en M . Así, el complejo de Koszul y su homología codifican propiedades fundamentales de la multiplicación por x .
Este complejo de cadenas se llama el complejo de Koszul de R con respecto ax , como en #Definition . El complejo de Koszul para una pareja es
con las matrices y dada por
y
Tenga en cuenta que se aplica a la izquierda. Los ciclos de grado 1 son entonces exactamente las relaciones lineales en los elementos de x y y , mientras que los límites son las relaciones triviales. La primera homología de Koszul H 1 ( K • ( x , y )) mide exactamente las relaciones mod las relaciones triviales. Con más elementos, las homologías Koszul de dimensiones superiores miden las versiones de nivel superior de esto.
En el caso de que los elementos forman una secuencia regular , los módulos de mayor homología del complejo de Koszul son todos cero.
Ejemplo
Si k es un campo yson indeterminados y R es el anillo polinomial, el complejo de Koszul sobre el 's forma una R -resolución libre concreta de k .
Propiedades de una homología de Koszul
Sea E un módulo libre de rango finito sobre R , seaser un R -linear mapa, y dejar que t ser un elemento de R . Dejar ser el complejo de Koszul de .
Utilizando , existe la secuencia exacta de complejos:
donde [-1] significa el cambio de grado en -1 y . Una nota: [1] para en ,
Tomando la larga secuencia exacta de homologías, obtenemos:
Aquí, el homomorfismo de conexión
se calcula de la siguiente manera. Por definición,donde y es un elemento deque se asigna a x . Desdees una suma directa, simplemente podemos tomar y como (0, x ). Entonces la frmula temprana para da .
La secuencia exacta anterior se puede utilizar para probar lo siguiente.
Teorema - [2] Sea R un anillo y M un módulo sobre él. Si una secuenciade elementos de R es una secuencia regular en M , entonces
para todos . En particular, cuando M = R , es decir
Prueba por inducción en r . Si, luego . Luego, suponga que la afirmación es verdadera para r - 1. Luego, usando la secuencia exacta anterior, uno ve para cualquier . La desaparición también es válida para, desde es un nonzerodivisor en
Corolario - [3] Sean R , M como arriba yuna secuencia de elementos de R . Supongamos que hay un anillo S , una secuencia S -regularen S y un homomorfismo de anillo S → R que mapea a . (Por ejemplo, uno puede tomar.) Luego
donde Tor indica la funtor Tor y M es un S -módulo a través de S → R .
Prueba: Por el teorema de aplicar a S y S como un S -módulo, vemos K ( y 1 , ..., y n ) es un S resolución exento de S / ( y 1 , ..., y n ) . Entonces, por definición, la i -ésima homología dees el lado derecho de lo anterior. Por otro lado,por la definición de la S estructura -module en M .
Corolario - [4] Sean R , M como arriba yuna secuencia de elementos de R . Entonces tanto el idealy el aniquilador de M aniquila
por todo i .
Prueba: Sea S = R [ y 1 , ..., y n ]. Convierta M en un módulo S a través del homomorfismo de anillo S → R , y i → x i y R en un módulo S a través de y i → 0 . Por el corolario anterior, y entonces
Para un anillo local , se cumple lo contrario del teorema. Más generalmente,
Teorema - [5] Let R sea un anillo y M un distinto de cero módulo sobre generación finita R . Si x 1 , x 2 , ..., x r son elementos del radical de Jacobson de R , entonces los siguientes son equivalentes:
Prueba: Solo necesitamos mostrar 2. implica 1., siendo el resto claro. Argumentamos por inducción sobre r . El caso r = 1 ya se conoce. Deje x ' denotan x 1 , ..., x r -1 . Considerar
Desde el primero es sobreyectiva, con . Por el lema de Nakayama ,y entonces x ' es una secuencia regular según la hipótesis inductiva. Desde el segundo es inyectivo (es decir, no es un divisor de cero), es una secuencia regular. (Nota: según el lema de Nakayama, el requisito es automático.)
Productos tensores de complejos de Koszul
En general, si C , D son complejos de cadena, entonces su producto tensorial es el complejo de cadena dado por
con el diferencial: para cualquier elemento homogéneo x , y ,
donde | x | es el grado de x .
Esta construcción se aplica en particular a los complejos de Koszul. Sean E , F módulos libres de rango finito y sean y ser dos R -mapas lineales. Dejar ser el complejo de Koszul del mapa lineal . Entonces, como complejos,
Para ver esto, es más conveniente trabajar con un álgebra exterior (a diferencia de poderes exteriores). Definir la derivación graduada de grado
al requerir: para cualquier elemento homogéneo x , y en Λ E ,
Cuándo
Uno ve eso fácilmente (inducción en grado) y que la acción de sobre elementos homogéneos concuerda con los diferenciales en #Definition .
Ahora tenemos como módulos R graduados. Además, según la definición de un producto tensorial mencionado al principio,
Desde y son derivaciones del mismo tipo, esto implica
Tenga en cuenta, en particular,
.
La siguiente proposición muestra cómo el complejo de elementos de Koszul codifica cierta información sobre secuencias en el ideal generado por ellos.
Proposición - Sea R un anillo e I = ( x 1 , ..., x n ) un ideal generado por algunos n elementos. Entonces, para cualquier módulo R M y cualquier elemento y 1 , ..., y r en I ,
dónde se ve como un complejo con diferencial cero. (De hecho, la descomposición se mantiene a nivel de cadena).
Prueba: (Fácil pero omitido por ahora)
Como aplicación, podemos mostrar la sensibilidad a la profundidad de una homología de Koszul. Dado un módulo finitamente generado M sobre un anillo R , por (un) definición, la profundidad de M con respecto a un ideal I es el supremo de las longitudes de todas las secuencias regulares de elementos de I en M . Se denota por. Recuerde que una secuencia M -regular x 1 , ..., x n en un ideal I es máxima si I no contiene ningún divisor no cerámico en.
La homología de Koszul proporciona una caracterización muy útil de una profundidad.
Teorema (sensibilidad a la profundidad) - Sea R un anillo noetheriano, x 1 , ..., x n elementos de R e I = ( x 1 , ..., x n ) el ideal generado por ellos. Para un módulo M generado finitamente sobre R , si, para algún entero m ,
para todo yo > m ,
tiempo
entonces cada secuencia máxima M -regular en I tiene una longitud n - m (en particular, todas tienen la misma longitud). Como consecuencia,
.
Prueba: Para aclarar las notaciones, escribimos H (-) por H ( K (-)). Sea y 1 , ..., y s una secuencia máxima M -regular en el ideal I ; Denotamos esta secuencia por. Primero mostramos, por inducción en, la afirmación de que es Si y es cero si . El caso básicose desprende de #Properties de una homología de Koszul . De la larga secuencia exacta de homologías de Koszul y la hipótesis inductiva,
,
cual es Además, por el mismo argumento, la desaparición vale para . Esto completa la prueba del reclamo.
Ahora, se sigue de la afirmación y la proposición inicial que para todos los i > n - s . Para concluir n - s = m , queda demostrar que es distinto de cero si i = n - s . Desdees una secuencia máxima M -regular en I , el ideal I está contenido en el conjunto de todos los zerodivisores en, la unión finita de los números primos asociados del módulo. Por lo tanto, por evitación de primos, hay alguna v distinta de cero en tal que , que es decir,
Auto-dualidad
Existe un enfoque para un complejo Koszul que utiliza un complejo cochain en lugar de un complejo de cadena. Como resultado, esto resulta esencialmente en el mismo complejo (el hecho conocido como la auto-dualidad de un complejo de Koszul).
Deje que E sea un módulo libre de rango finito r sobre un anillo R . Entonces cada elemento e de E da lugar a la multiplicación exterior izquierda por e :
Desde , tenemos: ; es decir,
es un complejo cochain de módulos gratuitos. Este complejo, también llamado complejo de Koszul, es un complejo utilizado en ( Eisenbud 1995 )error de harv: sin destino: CITEREFEisenbud1995 ( ayuda ). Tomando el dual, está el complejo:
.
Usando un isomorfismo , el complejo coincide con el complejo de Koszul en #Definition .
^ De hecho, por linealidad, podemos asumir dónde . Luego
,
cual es .
↑ Matsumura , Teorema 16.5. (I)error de harvnb: sin destino: CITEREFMatsumura ( ayuda )
^ Eisenbud , ejercicio 17.10.error de harvnb: sin destino: CITEREFEisenbud ( ayuda )
^ Serre , Capítulo IV, A § 2, Proposición 4.error harvnb: sin destino: CITEREFSerre ( ayuda )
↑ Matsumura , Teorema 16.5. (ii)error de harvnb: sin destino: CITEREFMatsumura ( ayuda )
Referencias
David Eisenbud , álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol 150, Springer-Verlag , Nueva York, 1995. ISBN 0-387-94268-8
William Fulton (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
Serre, Jean-Pierre (1975), Algèbre locale, Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Lecture Notes in Mathematics (en francés), 11 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
enlaces externos
Melvin Hochster , Math 711: Conferencia del 3 de octubre de 2007 (especialmente la última parte).