Dualidad Koszul

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En matemáticas , la dualidad Koszul , llamada así por el matemático francés Jean-Louis Koszul , es cualquiera de los diversos tipos de dualidades que se encuentran en la teoría de la representación de álgebras de Lie , álgebras abstractas ( álgebra semisimple ) ^[1] y topología (por ejemplo, cohomología equivariante ^[2]). ). El ejemplo del prototipo, debido a Joseph Bernstein , Israel Gelfand y Sergei Gelfand, ^[3] es la dualidad aproximada entre la categoría derivada de un álgebra simétrica y la de un álgebra exterior.. La importancia de la noción se basa en la sospecha de que la dualidad Koszul parece bastante ubicua por naturaleza. ^{[ cita requerida ]}

El caso más simple, y en cierto sentido prototípico de la dualidad Koszul surge de la siguiente manera: para un espacio vectorial unidimensional V sobre un campo k , con espacio vectorial dual , el álgebra exterior de V tiene dos componentes no triviales, a saber${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Esta álgebra exterior y el álgebra simétrica de , , sirven para construir una de dos pasos complejo de cadena${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle Sym (V ^ {*})}$

Al elegir una base de V , se puede identificar con el anillo polinomial en una variable, y el complejo de cadena anterior se vuelve isomorfo al complejo${\ Displaystyle Sym (V ^ {*})}$${\ Displaystyle k [t]}$

cuyo diferencial es la multiplicación por t . Este cálculo muestra que la cohomología del complejo anterior es 0 en el término de la izquierda y es k en el término de la derecha. En otras palabras, k (considerado como un complejo de cadena concentrado en un solo grado) es cuasi-isomorfo al complejo anterior, lo que proporciona un vínculo estrecho entre el álgebra exterior de V y el álgebra simétrica de su dual.

La dualidad de Koszul, tal como la trataron Alexander Beilinson , Victor Ginzburg y Wolfgang Soergel ^[4], puede formularse utilizando la noción de álgebra de Koszul . Un ejemplo de este álgebra A de Koszul es el álgebra simétrica en un espacio vectorial de dimensión finita. De manera más general, se puede demostrar que cualquier álgebra de Koszul es un álgebra cuadrática , es decir, de la forma${\ Displaystyle S (V)}$

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