En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, un álgebra semisimple es un asociativo artiniano álgebra sobre un campo que tiene trivial Jacobson radical (sólo el elemento cero de la álgebra está en el radical Jacobson). Si el álgebra es de dimensión finita, esto equivale a decir que se puede expresar como un producto cartesiano de subálgebras simples .
Definición
El radical de Jacobson de un álgebra sobre un campo es el ideal que consiste en todos los elementos que aniquilan cada módulo izquierdo simple. El radical contiene todos los ideales nilpotentes , y si el álgebra es de dimensión finita, el radical mismo es un ideal nilpotente. Entonces, se dice que un álgebra de dimensión finita es semisimple si su radical contiene solo el elemento cero.
Un álgebra A se llama simple si no tiene ideales propios y A 2 = { ab | a , b ∈ A } ≠ {0}. Como sugiere la terminología, las álgebras simples son semisimples. Los únicos ideales posibles de un álgebra A simple son A y {0}. Por tanto, si A es simple, entonces A no es nilpotente. Debido a que A 2 es un ideal de A y A es simple, A 2 = A . Por inducción, A n = A para todo entero positivo n , es decir, A no es nilpotente.
Cualquier subálgebra A autoadjunta de n × n matrices con entradas complejas es semisimple. Deje Rad ( A ) sea el radical de una . Suponga que una matriz M está en Rad ( A ). Entonces M * M se encuentra en algunos ideales nilpotentes de A , por lo tanto ( M * M ) k = 0 para algún entero positivo k . Por semidefinidad positiva de M * M , esto implica M * M = 0. Entonces M x es el vector cero para todo x , es decir, M = 0.
Si { A i } es una colección finita de álgebras simples, entonces su producto cartesiano ∏ A i es semisimple. Si ( a i ) es un elemento de Rad ( A ) ye 1 es la identidad multiplicativa en A 1 (todas las álgebras simples poseen una identidad multiplicativa), entonces ( a 1 , a 2 , ...) · ( e 1 , 0, ...) = ( a 1 , 0 ..., 0) se encuentra en algún ideal nilpotente de ∏ A i . Esto implica, para todo b en A 1 , a 1 b es nilpotente en A 1 , es decir, a 1 ∈ Rad ( A 1 ). Entonces a 1 = 0. De manera similar, a i = 0 para todos los demás i .
Es menos evidente a partir de la definición que lo contrario de lo anterior también es cierto, es decir, cualquier álgebra semisimple de dimensión finita es isomorfa a un producto cartesiano de un número finito de álgebras simples. El siguiente es un álgebra semisimple que parece no tener esta forma. Deje A sea un álgebra con Rad ( A ) ≠ A . El álgebra del cociente B = A ⁄ Rad ( A ) es semisimple: si J es un ideal nilpotente distinto de cero en B , entonces su preimagen bajo el mapa de proyección natural es un ideal nilpotente en A que es estrictamente mayor que Rad ( A ), una contradicción .
Caracterización
Sea A un álgebra semisimple de dimensión finita, y
ser una serie de composición de A , entonces A es isomorfo al siguiente producto cartesiano:
donde cada
es un álgebra simple.
La prueba se puede esbozar de la siguiente manera. Primero, invocando la suposición de que A es semisimple, se puede demostrar que J 1 es un álgebra simple (por lo tanto, unital). Entonces J 1 es una subálgebra unital y un ideal de J 2 . Por lo tanto, uno puede descomponer
Por maximalidad de J 1 como ideal en J 2 y también por la semisimplicidad de A , el álgebra
es simple. Proceder por inducción de manera similar prueba la afirmación. Por ejemplo, J 3 es el producto cartesiano de álgebras simples
El resultado anterior se puede reformular de una manera diferente. Para un álgebra semisimple A = A 1 × ... × A n expresada en términos de sus factores simples, considere las unidades e i ∈ A i . Los elementos de E i = (0, ..., e i , ..., 0) son elementos idempotente en A y que se encuentran en el centro de A . Además, E i A = A i , E i E j = 0 para i ≠ j , y Σ E i = 1, la identidad multiplicativa en A .
Por lo tanto, para cada álgebra A semisimple , existen idempotentes { E i } en el centro de A , tales que
- E i E j = 0 para i ≠ j (tal conjunto de idempotentes se llama ortogonal central ),
- Σ E yo = 1,
- A es isomorfo al producto cartesiano de álgebra sencilla E 1 A × ... × E n A .
Clasificación
Un teorema de Joseph Wedderburn clasifica completamente las álgebras semisimples de dimensión finita sobre un campo. Cualquier álgebra de este tipo es isomorfa a un producto finito donde el son números naturales, los son álgebras de división sobre, y es el álgebra de matrices sobre . Este producto es único hasta la permutación de los factores. [1]
Este teorema fue posteriormente generalizado por Emil Artin a anillos semisimple. Este resultado más general se denomina teorema de Artin-Wedderburn .
Referencias
- ^ Anthony Knapp (2007). Álgebra avanzada, cap. II: Teoría del anillo de Wedderburn-Artin (PDF) . Springer Verlag.