Teoría de conjuntos de Kripke-Platek
La teoría de conjuntos Kripke-Platek ( KP ), pronunciado / k r ɪ p k i p l ɑː t ɛ k / , es una teoría de conjuntos axiomático desarrollado por Saul Kripke y Richard Platek.
KP es considerablemente más débil que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), y puede considerarse aproximadamente como la parte predicativa de ZFC. La fuerza de consistencia de KP con un axioma de infinito viene dada por el ordinal de Bachmann-Howard . A diferencia de ZFC, KP no incluye el axioma del conjunto de potencias , y KP incluye solo formas limitadas del axioma de separación y axioma de reemplazo de ZFC. Estas restricciones sobre los axiomas de KP conducen a estrechas conexiones entre KP, la teoría de la recursividad generalizada y la teoría de los ordinales admisibles .
Aquí, una fórmula Σ 0 , Π 0 o Δ 0 es una fórmula cuyos cuantificadores están acotados . Esto significa que cualquier cuantificación es la forma o (De manera más general, diríamos que una fórmula es Σ n +1 cuando se obtiene agregando cuantificadores existenciales delante de una fórmula Π n , y que es Π n +1 cuando es obtenido agregando cuantificadores universales delante de una fórmula Σ n : esto está relacionado con la jerarquía aritmética pero en el contexto de la teoría de conjuntos).
Estos axiomas son más débiles que ZFC, ya que excluyen los axiomas de poder, elección y, a veces, infinito. Además, los axiomas de separación y colección aquí son más débiles que los axiomas correspondientes en ZFC porque las fórmulas φ utilizadas en estos se limitan solo a cuantificadores acotados.
El axioma de inducción en el contexto de KP es más fuerte que el axioma habitual de regularidad , que equivale a aplicar inducción al complemento de un conjunto (la clase de todos los conjuntos que no están en el conjunto dado). Sin adoptar la regularidad o el axioma de elección , KP se puede estudiar como una teoría de conjuntos constructiva al eliminar la ley del medio excluido , sin cambiar ningún axioma.
Si A y B son conjuntos, a continuación, hay un conjunto A × B que consta de todos los pares ordenados ( a , b ) de elementos de una de A y b de B .