En matemáticas , el teorema de Kronecker es un teorema sobre la aproximación diofántica, introducido por Leopold Kronecker ( 1884 ).
El teorema de aproximación de Kronecker había sido probado por primera vez por L. Kronecker a fines del siglo XIX. Ahora se ha revelado que se relaciona con la idea de n-toro y medida de Mahler desde la última mitad del siglo XX. En términos de sistemas físicos, tiene la consecuencia de que los planetas en órbitas circulares que se mueven uniformemente alrededor de una estrella asumirán, con el tiempo, todas las alineaciones, a menos que exista una dependencia exacta entre sus períodos orbitales.
Declaración
El teorema de Kronecker es el resultado de aproximaciones diofánticas que se aplican a varios números reales x i , para 1 ≤ i ≤ n , que generaliza el teorema de aproximación de Dirichlet a múltiples variables.
El teorema clásico de aproximación de Kronecker se formula como sigue.
- Dadas n - tuplas reales y , la condición:
- Se mantiene si y solo si para cualquier con
- el número también es un número entero.
En un lenguaje más sencillo, la primera condición establece que la tupla puede aproximarse arbitrariamente bien mediante combinaciones lineales de s (con coeficientes enteros) y vectores enteros.
Para el caso de un y , El teorema de aproximación de Kronecker se puede enunciar de la siguiente manera. [1] Para cualquier con irracional y existen enteros y con , tal que
Relación con tori
En el caso de N números, tomados como una sola N - tupla y el punto P del toro
- T = R N / Z N ,
el cierre del subgrupo < P > generado por P será finito, o algún toro T ' contenida en T . El teorema de Kronecker original ( Leopold Kronecker , 1884) establecía que la condición necesaria para
- T ′ = T ,
que es que los números x i junto con 1 deben ser linealmente independientes de los números racionales , también es suficiente . Aquí es fácil ver que si alguna combinación lineal de x i y 1 con coeficientes de números racionales distintos de cero es cero, entonces los coeficientes pueden tomarse como números enteros, y un carácter χ del grupo T distinto del carácter trivial toma el valor 1 en P . Por la dualidad de Pontryagin tenemos T ' contenida en el núcleo de χ, y por lo tanto no es igual a T .
De hecho, un uso completo de la dualidad de Pontryagin aquí muestra que todo el teorema de Kronecker describe el cierre de < P > como la intersección de los núcleos de χ con
- χ ( P ) = 1.
Esto da una conexión de Galois ( antitono ) entre subgrupos cerrados monogénicos de T (aquellos con un solo generador, en el sentido topológico), y conjuntos de caracteres con kernel que contienen un punto dado. No todos los subgrupos cerrados se presentan como monogénicos; por ejemplo, un subgrupo que tiene un toro de dimensión ≥ 1 como componente conectado del elemento de identidad, y que no está conectado, no puede ser tal subgrupo.
El teorema deja abierta la cuestión de qué tan bien (uniformemente) los múltiplos mP de P llenan el cierre. En el caso unidimensional, la distribución es uniforme por el teorema de equidistribución .
Ver también
Referencias
- Kronecker, L. (1884), "Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen" , Berl. Ber. : 1179–1193, 1271–1299
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Teorema de Kronecker" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ "Teorema de aproximación de Kronecker" . Wolfram Mathworld . Consultado el 26 de octubre de 2019 .