En matemáticas , el teorema de equidistribución es el enunciado de que la secuencia
- a , 2 a , 3 a , ... mod 1
se distribuye uniformemente en el círculo , cuando a es un número irracional . Es un caso especial del teorema ergódico donde se toma la medida del ángulo normalizado.
Historia
Si bien este teorema fue probado en 1909 y 1910 por separado por Hermann Weyl , Wacław Sierpiński y Piers Bohl , las variantes de este teorema continúan siendo estudiadas hasta el día de hoy.
En 1916, Weyl demostró que la secuencia a , 2 2 a , 3 2 a , ... mod 1 se distribuye uniformemente en el intervalo unitario. En 1935, Ivan Vinogradov demostró que la secuencia p n a mod 1 está uniformemente distribuida, donde p n es el n- ésimo primo . La demostración de Vinogradov fue un subproducto de la extraña conjetura de Goldbach , según la cual todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos.
George Birkhoff , en 1931, y Aleksandr Khinchin , en 1933, demostraron que la generalización x + na , para casi todo x , está equidistribuida en cualquier subconjunto medible de Lebesgue del intervalo unitario. Las generalizaciones correspondientes para los resultados de Weyl y Vinogradov fueron probadas por Jean Bourgain en 1988.
Específicamente, Khinchin demostró que la identidad
se cumple para casi todo x y cualquier función integrable de Lebesgue ƒ. En las formulaciones modernas, se pregunta en qué condiciones la identidad
podría sostenerse, dada alguna secuencia general b k .
Un resultado notable es que la secuencia de 2 k un mod 1 se distribuye de manera uniforme para casi todos, pero no todos, irracional una . De manera similar, para la secuencia de b k = 2 k a, para cada irracional una , y casi todos x , existe una ƒ función para la que los diverge suma. En este sentido, esta secuencia se considera una secuencia de promedio universalmente mala , a diferencia de b k = k , que se denomina una secuencia de promedio universalmente buena , porque no tiene la última deficiencia.
Un resultado general poderoso es el criterio de Weyl , que muestra que la equidistribución es equivalente a tener una estimación no trivial de las sumas exponenciales formadas con la secuencia como exponentes. Para el caso de múltiplos de a , el criterio de Weyl reduce el problema a la suma de series geométricas finitas .
Ver también
Referencias
Referencias históricas
- P. Bohl, (1909) Über ein in der Theorie der säkutaren Störungen vorkommendes Problem , J. reine angew. Matemáticas. 135 , págs. 189-283.
- Weyl, H. (1910). "Über die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 330 : 377–407. doi : 10.1007 / bf03014883 . S2CID 122545523 .
- W. Sierpinski, (1910) Sur la valeur asymptotique d'une certaine somme , Bull Intl. Acad. Polonaise des Sci. et des Lettres (Cracovie) serie A , págs. 9-11.
- Weyl, H. (1916). "Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" . Matemáticas. Ann . 77 (3): 313–352. doi : 10.1007 / BF01475864 . S2CID 123470919 .
- Birkhoff, GD (1931). "Prueba del teorema ergódico" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 17 (12): 656–660. doi : 10.1073 / pnas.17.12.656 . PMC 1076138 . PMID 16577406 .
- Ya. Khinchin, A. (1933). "Lösung des Ergodensproblems de Zur Birkhoff". Matemáticas. Ann . 107 : 485–488. doi : 10.1007 / BF01448905 . S2CID 122289068 .
Referencias modernas
- Joseph M. Rosenblatt y Máté Weirdl, Teoremas ergódicos puntuales a través del análisis armónico , (1993) que aparece en Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , (1995) Karl E. Petersen e Ibrahim A. Salama, eds . , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0 . (Un estudio extenso de las propiedades ergódicas de las generalizaciones del teorema de equidistribución de los mapas de desplazamiento en el intervalo unitario . Se centra en los métodos desarrollados por Bourgain).
- Elias M. Stein y Rami Shakarchi, Análisis de Fourier. Una introducción , (2003) Princeton University Press, págs. 105-113 (Prueba del teorema de Weyl basada en el análisis de Fourier)