En matemáticas, la fórmula clásica del límite de Kronecker describe el término constante en s = 1 de una serie analítica real de Eisenstein (o función zeta de Epstein ) en términos de la función eta de Dedekind . Hay muchas generalizaciones de la misma a series de Eisenstein más complicadas. Lleva el nombre de Leopold Kronecker .
Primera fórmula límite de Kronecker
La (primera) fórmula del límite de Kronecker establece que
dónde
- E (τ, s ) es la serie analítica real de Eisenstein, dada por
para Re ( s )> 1, y por continuación analítica para otros valores del número complejo s .
- γ es la constante de Euler-Mascheroni
- τ = x + iy con y > 0.
- , con q = e 2π i τ es la función eta de Dedekind .
Entonces, la serie de Eisenstein tiene un polo en s = 1 del residuo π, y la (primera) fórmula del límite de Kronecker da el término constante de la serie de Laurent en este polo.
Esta fórmula tiene una interpretación en términos de la geometría espectral de la curva elíptica. asociado a la celosía : dice que el determinante zeta-regularizado del operador de Laplace asociado a la métrica plana en es dado por . Esta fórmula se ha utilizado en la teoría de cuerdas para el cálculo de un bucle en el enfoque perturbativo de Polyakov .
Segunda fórmula límite de Kronecker
La segunda fórmula de límite de Kronecker establece que
dónde
- u y v son reales y no ambos enteros.
- q = e 2π i τ y q a = e 2π i a τ
- p = e 2π i z y p a = e 2π i az
para Re ( s )> 1, y se define mediante la continuación analítica para otros valores del número complejo s .
Ver también
Referencias
- Serge Lang , funciones elípticas , ISBN 0-387-96508-4
- CL Siegel , Conferencias sobre teoría analítica avanzada de números , Instituto Tata 1961.