En matemáticas , la serie de Eisenstein analítica real más simple es una función especial de dos variables. Se utiliza en la teoría de la representación de SL (2, R ) y en la teoría analítica de números . Está estrechamente relacionado con la función zeta de Epstein.
Hay muchas generalizaciones asociadas a grupos más complicados.
Definición
La serie de Eisenstein E ( z , s ) para z = x + iy en el semiplano superior está definida por
para Re ( s )> 1, y por continuación analítica para otros valores del número complejo s . La suma es sobre todos los pares de enteros coprimos.
Advertencia : hay varias otras definiciones ligeramente diferentes. Algunos autores omiten el factor de ½ y algunos suman todos los pares de números enteros que no son ambos cero; que cambia la función por un factor de ζ (2 s ).
Propiedades
En función de z
Visto como una función de z , E ( z , s ) es una función propia analítica real del operador de Laplace en H con el valor propio s ( s -1). En otras palabras, satisface la ecuación diferencial parcial elíptica
- dónde
La función E ( z , s ) es invariante bajo la acción de SL (2, Z ) sobre z en el semiplano superior por transformaciones lineales fraccionarias . Junto con la propiedad anterior, esto significa que la serie de Eisenstein es una forma de Maass , un análogo analítico real de una función modular elíptica clásica .
Advertencia : E ( z , s ) no es una función cuadrada integrable de z con respecto a la invariante de Riemann métrica en H .
En función de s
La serie de Eisenstein converge para Re ( s )> 1, pero se puede continuar analíticamente a una función meromórfica de s en todo el plano complejo, con en el semiplano Re ( s )1/2 un polo único de residuo 3 / π en s = 1 (para todo z en H ) e infinitos polos en la franja 0
La función modificada
satisface la ecuación funcional
análoga a la ecuación funcional para la función zeta de Riemann ζ ( s ).
El producto escalar de dos series de Eisenstein diferentes E ( z , s ) y E ( z , t ) viene dado por las relaciones de Maass-Selberg .
Expansión de Fourier
Las propiedades anteriores de la serie analítica real de Eisenstein, es decir, la ecuación funcional para E (z, s) y E * (z, s) usando laplaciano en H , se muestran a partir del hecho de que E (z, s) tiene una expansión de Fourier. :
dónde
y funciones de Bessel modificadas
Función zeta de Epstein
La función zeta de Epstein ζ Q ( s ) ( Epstein 1903 ) para una forma cuadrática integral definida positiva Q ( m , n ) = cm 2 + bmn + an 2 se define por
Es esencialmente un caso especial de la serie analítica real de Eisenstein para un valor especial de z , ya que
por
Esta función zeta recibió su nombre de Paul Epstein .
Generalizaciones
La serie analítica real de Eisenstein E ( z , s ) es realmente la serie de Eisenstein asociada al subgrupo discreto SL (2, Z ) de SL (2, R ) . Selberg describió generalizaciones a otros subgrupos discretos Γ de SL (2, R ), y los usó para estudiar la representación de SL (2, R ) en L 2 (SL (2, R ) / Γ). Langlands extendió el trabajo de Selberg a grupos de dimensiones superiores; sus pruebas notoriamente difíciles fueron simplificadas más tarde por Joseph Bernstein .
Ver también
Referencias
- J. Bernstein, continuación meromórfica de la serie de Eisenstein
- Epstein, P. (1903), "Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen I" (PDF) , Matemáticas. Ana. , 56 (4): 614–644, doi : 10.1007 / BF01444309 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace ).
- A. Krieg (2001) [1994], "Función zeta de Epstein" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Kubota, T. (1973), Teoría elemental de la serie Eisenstein , Tokio: Kodansha, ISBN 0-470-50920-1 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace ).
- Langlands, Robert P. (1976), Sobre las ecuaciones funcionales satisfechas por la serie de Eisenstein , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07872-X.
- A. Selberg, Grupos discontinuos y análisis armónico , Proc. En t. Congr. Matemáticas, 1962.
- D. Zagier , serie de Eisenstein y función zeta de Riemann .