En la teoría de conjuntos , un árbol Kurepa es un árbol ( T , <) de altura ω 1 , cada uno de cuyos niveles es como mucho contable, y tiene al menos ℵ 2 muchas ramas. Este concepto fue introducido por Kurepa ( 1935 ). La existencia de un árbol Kurepa (conocida como la hipótesis de Kurepa , aunque originalmente Kurepa conjeturó que esto era falso) es consistente con los axiomas de ZFC : Solovay mostró en trabajos no publicados que hay árboles en Kurepa Gödel 's universo construible ( Jech 1971). Más precisamente, la existencia de árboles Kurepa se deriva del principio del diamante más , que se mantiene en el universo construible. Por otro lado, Silver ( 1971 ) mostró que si un cardenal fuertemente inaccesible es Lévy colapsó a ω 2 , entonces, en el modelo resultante, no hay árboles Kurepa. La existencia de un cardenal inaccesible es de hecho equivalente al fracaso de la hipótesis de Kurepa, porque si la hipótesis de Kurepa es falsa, entonces el cardinal ω 2 es inaccesible en el universo constructivo.
Un árbol Kurepa con menos de 2 ℵ 1 ramas se conoce como árbol Jech-Kunen .
De manera más general, si κ es un cardenal infinito, entonces un árbol κ-Kurepa es un árbol de altura κ con más de κ ramas pero como máximo | α | elementos de cada nivel infinito α <κ, y la hipótesis de Kurepa para κ es la afirmación de que existe un árbol κ-Kurepa. A veces también se supone que el árbol es binario. La existencia de un árbol binario κ-Kurepa es equivalente a la existencia de una familia Kurepa : un conjunto de más de κ subconjuntos de κ de modo que sus intersecciones con cualquier infinito ordinal α <κ forman un conjunto de cardinalidad a lo sumo α. La hipótesis de Kurepa es falsa si κ es un cardenal inefable y, a la inversa, Jensen mostró que en el universo construible para cualquier cardinal regular incontable κ hay un árbol de κ-Kurepa a menos que κ sea inefable.
Especialización en un árbol Kurepa
Un árbol Kurepa se puede "matar" forzando la existencia de una función cuyo valor en cualquier nodo no raíz sea un ordinal menor que el rango del nodo, de modo que siempre que haya tres nodos, uno de los cuales sea un límite inferior para el otro dos, se asignan al mismo ordinal, entonces los tres nodos son comparables. Esto se puede hacer sin colapsar ℵ 1 , y da como resultado un árbol con exactamente ℵ 1 ramas.
Ver también
Referencias
- Jech, Thomas J. (1971), "Trees", Journal of Symbolic Logic , 36 : 1–14, doi : 10.2307 / 2271510 , JSTOR 2271510 , MR 0284331 , Zbl 0245.02054
- Jech, Thomas (2002). Establecer teoría . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
- Kurepa, G. (1935), "Ensembles ordonnés et ramifiés" , Publ. Matemáticas. Univ. Belgrado , 4 : 1–138, JFM 61.0980.01 , Zbl 0014.39401
- Silver, Jack (1971), "La independencia de la conjetura de Kurepa y las conjeturas de dos cardinales en la teoría de modelos", Teoría de conjuntos axiomáticos , Proc. Simpos. Pure Math., XIII , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 383–390, MR 0277379 , Zbl 0255.02068