En matemáticas, forzando es un método de construcción de nuevos modelos M [ G ] de la teoría de conjuntos mediante la adición de un subconjunto genérico G de un poset P a un modelo M . El poset P utilizado determinará qué declaraciones se mantienen en el nuevo universo (la 'extensión'); forzar una declaración de interés, por lo tanto, requiere la construcción de un P adecuado . Este artículo enumera algunos de los posets P que se han utilizado en esta construcción.
Notación
- P es un poset con orden <
- V es el universo de todos los conjuntos
- M es un modelo transitivo contable de teoría de conjuntos
- G es un subconjunto genérico de P sobre M .
Definiciones
- P satisface la condición de cadena contable si cada antichain en P es como mucho contable. Esto implica que V y V [ G ] tienen los mismos cardinales (y las mismas cofinalidades).
- Un subconjunto D de P se llama denso si para cada p ∈ P hay algo de q ∈ D con q ≤ p .
- Un filtro en P es un subconjunto no vacío F de P tal que si p < q y p ∈ F entonces q ∈ F , y si p ∈ F y q ∈ F entonces hay algún r ∈ F con r ≤ p y r ≤ q .
- Un subconjunto G de P se llama genérico sobre M si es un filtro que se reúne cada subconjunto denso de P en M .
Amoeba forzando
El forzamiento de ameba es forzar con el orden de ameba y agrega un conjunto de medidas 1 de reales aleatorios.
Cohen forzando
En el forzamiento de Cohen (llamado así por Paul Cohen ) P es el conjunto de funciones de un subconjunto finito de ω 2 × ω a {0,1} y p < q si p ⊇ q .
Este poset satisface la condición de cadena contable. Forzar con este poset agrega ω 2 reales distintos al modelo; este fue el poset utilizado por Cohen en su prueba original de la independencia de la hipótesis del continuo.
De manera más general, se puede reemplazar ω 2 por cualquier κ cardinal, de modo que construya un modelo en el que el continuo tenga un tamaño de al menos κ. Aquí, la única restricción es que κ no tiene cofinalidad ω.
Forzamiento de Grigorieff
La fuerza de Grigorieff (después de Serge Grigorieff) destruye un ultrafiltro libre en ω.
Hechler forzando
El forzamiento de Hechler (después de Stephen Herman Hechler) se usa para mostrar que el axioma de Martin implica que cada familia de funciones menores que c de ω a ω está finalmente dominada por alguna de esas funciones.
P es el conjunto de pares ( s , E ) donde s es una secuencia finita de números naturales (considerados como funciones de un ordinal finito a ω) y E es un subconjunto finito de algún conjunto fijo G de funciones de ω a ω. El elemento ( s , E ) es más fuerte que ( t , F ) si t está contenido en s , F está contenido en E , y si k está en el dominio de s pero no de t, entonces s ( k )> h ( k ) para todos h en F .
Jockusch – Soare forzando
Forzando con Las clases fueron inventadas por Robert Soare y Carl Jockusch para probar, entre otros resultados, el teorema de base baja . Aquí P es el conjunto de no vacío subconjuntos de (es decir, los conjuntos de caminos a través de infinitos subárboles computables de), ordenados por inclusión.
Forzamiento iterado
Solovay y Tennenbaum introdujeron el forzamiento iterado con soportes finitos para mostrar la consistencia de la hipótesis de Suslin . Easton introdujo otro tipo de forzamiento iterado para determinar los posibles valores de la función continua en los cardinales regulares. El forzamiento iterado con apoyo contable fue investigado por Laver en su prueba de la consistencia de la conjetura de Borel, Baumgartner , quien introdujo el forzamiento del Axioma A, y Shelah , quien introdujo el forzamiento adecuado. Shelah introdujo la iteración de soporte contable revisada para manejar forzamientos semi-apropiados, como el forzamiento de Prikry, y generalizaciones, incluyendo notablemente el forzamiento de Namba.
Laver forzando
Laver utilizó el forzamiento de Laver para demostrar que la conjetura de Borel, que dice que todos los conjuntos de ceros de medidas fuertes son contables, es consistente con ZFC. (La conjetura de Borel no es consistente con la hipótesis del continuo).
- P es el conjunto de árboles Laver, ordenados por inclusión.
Un árbol de Laver p es un subconjunto de las secuencias finitas de números naturales tales que
- p es un árbol: p contiene cualquier secuencia inicial de cualquier elemento de p , expresado de manera equivalente como p está cerrado bajo los segmentos iniciales
- p tiene un tallo: un nodo máxima s ( p ) = s ∈ p tal que s ≤ t o t ≤ s para todos t en p ,
- Si t ∈ p y s ≤ t entonces t tiene un número infinito de sucesores inmediatos tn en p para n ∈ ω .
Si G es genérico para ( P , ≤) , entonces el { s ( p ): p ∈ G } real , llamado Laver-real , determina G de forma única .
El forzamiento de Laver satisface la propiedad de Laver .
Levy colapsando
Estos grupos colapsarán a varios cardenales, en otras palabras, los obligarán a tener el mismo tamaño que los cardenales más pequeños.
- Colapso de un cardinal a ω: P es el conjunto de todas las secuencias finitas de ordinales menores que un λ cardinal dado. Si λ es incontable, entonces forzar con este poset colapsa λ a ω.
- Colapso de un cardinal a otro: P es el conjunto de todas las funciones de un subconjunto de κ de cardinalidad menor que κ a λ (para cardinales fijos κ y λ). Forzar con este poset colapsa λ hasta κ.
- Colapso de impuestos: si κ es regular y λ es inaccesible, entonces P es el conjunto de funciones p en subconjuntos de λ × κ con un dominio de tamaño menor que κ y p (α, ξ) <α para cada (α, ξ) en el dominio de p . Este poset colapsa todos los cardinales menores que λ en κ, pero mantiene λ como sucesor de κ.
El colapso de Levy lleva el nombre de Azriel Levy .
Magidor forzando
Entre las muchas nociones de forzamiento desarrolladas por Magidor , una de las más conocidas es una generalización del forzamiento de Prikry utilizada para cambiar la cofinalidad de un cardenal a un cardenal regular más pequeño dado.
Mathias forzando
- Un elemento de P es un par que consiste en un conjunto finito s de los números naturales y un conjunto infinito A de los números naturales de tal manera que cada elemento de s es menor que cada elemento de A . El orden está definido por
- ( t , B ) es más fuerte que ( s , A ) (( t , B ) <( s , A )) si s es un segmento inicial de t , B es un subconjunto de A y t está contenido en s ∪ A .
El forzamiento de Mathias lleva el nombre de Adrian Mathias .
Forzando namba
El forzamiento de Namba (después de Kanji Namba) se usa para cambiar la cofinalidad de ω 2 a ω sin colapsar ω 1 .
- P es el conjunto de todos los árboles(subconjuntos cerrados hacia abajo no vacíos del conjunto de secuencias finitas de ordinales menores que ω 2 ) que tienen la propiedad de que cualquier s en T tiene una extensión en T que tienesucesores inmediatos. P está ordenado por inclusión (es decir, los subárboles son condiciones más fuertes). La intersección de todos los árboles en el filtro genérico define una secuencia contable que es cofinal en ω 2 .
El forzamiento de Namba es el subconjunto de P tal que hay un nodo debajo del cual el orden es lineal y por encima del cual cada nodo tiene sucesores inmediatos.
Magidor y Shelah demostraron que si CH se sostiene, entonces un objeto genérico de forzamiento de Namba no existe en la extensión genérica de Namba ', y viceversa. [1] [2]
Prikry forzando
En el forzamiento de Prikry (después de Karel Prikrý) P es el conjunto de pares ( s , A ) donde s es un subconjunto finito de un cardinal fijo medible κ, y A es un elemento de una medida normal fija D en κ. Una condición ( s , A ) es más fuerte que ( t , B ) si t es un segmento inicial de s , A está contenido en B , y s está contenida en t ∪ B . Esta noción de forzamiento puede usarse para cambiar a la cofinalidad de κ mientras se preservan todos los cardenales.
Forzamiento del producto
Tomar un producto de condiciones forzadas es una forma de forzar simultáneamente todas las condiciones.
- Productos finitos : Si P y Q son poset, el poset de producto P × Q tiene el orden parcial definido por ( p 1 , q 1 ) ≤ ( p 2 , q 2 ) si p 1 ≤ p 2 y q 1 ≤ q 2 .
- Productos infinitos : El producto de un conjunto de posets P i , i ∈ I , cada uno con un elemento más grande 1 es el conjunto de funciones p sobre I con p ( i ) ∈ P ( i ) y tales que p ( i ) = 1 para todos menos un número finito de i . El orden está dado por p ≤ q si p ( i ) ≤ q ( i ) para todo i .
- El producto de Easton (según William Bigelow Easton) de un conjunto de posets P i , i ∈ I , donde I es un conjunto de cardinales es el conjunto de funciones p sobre I con p ( i ) ∈ P ( i ) y tal que para cada cardinal regular γ el número de elementos α de γ con p (α) ≠ 1 es menor que γ.
Radin forzando
El forzamiento de Radin (después de Lon Berk Radin), una generalización técnicamente involucrada del forzamiento de Magidor, agrega un subconjunto cerrado e ilimitado a algún λ cardinal regular.
Si λ es un cardinal suficientemente grande, entonces el forzamiento mantiene λ regular, medible , supercompacto , etc.
Forzamiento aleatorio
- P es el conjunto de subconjuntos de Borel de [0,1] de medida positiva, donde p se llama más fuerte que q si está contenido en q . El conjunto genérico G a continuación, codifica una "real aleatorio": el verdadero único x G en todos los intervalos racionales [ r , s ] V [ G ] de tal manera que [ r , s ] V está en G . Este real es "aleatorio" en el sentido de que si X es cualquier subconjunto de [0, 1] V de medida 1, situada en V , entonces x G ∈ X .
Sacos forzando
- P es el conjunto de todos los árboles perfectos contenidos en el conjunto de secuencias {0, 1} finitas . (Un árbol T es un conjunto de secuencias finitas que contienen todos los segmentos iniciales de sus miembros, y se llama perfecto si para cualquier elemento t de T hay un segmento s que se extiende t de modo que tanto s 0 como s 1 están en T ). el árbol p es más fuerte que q si p está contenido en q . Forzando con árboles perfectos fue utilizado por Gerald Enoch Sacos para producir una verdadera una con grado mínimo de constructibilidad.
El forzado de sacos tiene la propiedad Sacks .
Disparar un palo rápido
Para S un subconjunto estacionario de establecimos es una secuencia cerrada de S y C es un subconjunto cerrado ilimitado de, Ordenado por si se extiende al final y y . En, tenemos eso es un subconjunto ilimitada cerrado de S casi contenida en cada conjunto club en V .se conserva. Este método fue introducido por Ronald Jensen para mostrar la consistencia de la hipótesis del continuo y la hipótesis de Suslin .
Disparar a un palo con condiciones contables
Para S un subconjunto estacionario denos propusimos P igual al conjunto de secuencias contables cerrados de S . En, tenemos eso es un subconjunto cerrado ilimitado de S y se conserva, y si CH se mantiene, se conservan todos los cardenales.
Disparar a un palo con condiciones finitas
Para S un subconjunto estacionario deestablecemos P igual al conjunto de conjuntos finitos de pares de ordinales contables, de modo que si y luego y y cuando sea y son elementos distintos de p entonces o . P está ordenado por inclusión inversa. En, tenemos eso es un subconjunto cerrado ilimitado de S y se conservan todos los cardinales.
Forzamiento de plata
El forzamiento de plata (después de Jack Howard Silver ) es el conjunto de todas esas funciones parciales de los números naturales en {0, 1} cuyo dominio es coinfinito; o equivalentemente el conjunto de todos los pares ( A , p ) , donde A es un subconjunto de los números naturales con complemento infinito, yp es una función de A en un conjunto fijo de 2 elementos. Una condición q es más fuerte que una condición p si q extiende p .
El forzamiento de plata satisface a Fusion, la propiedad de Sacks , y es mínimo con respecto a los reales (pero no mínimo).
Forzando Vopěnka
El forzamiento de Vopěnka (después de Petr Vopěnka ) se usa para agregar genéricamente un conjunto de ordinales a . Definir primero como el conjunto de todos los no vacíos subconjuntos del conjunto de potencia de , dónde , ordenado por inclusión: si . Cada condición puede ser representado por una tupla dónde , para todos . La traducción entre y su menor representación es , y por lo tanto es isomorfo a un poset (siendo las condiciones las representaciones mínimas de elementos de ). Este poset es el forzamiento de Vopenka para subconjuntos de. Definiendo como el conjunto de todas las representaciones de elementos tal que , luego es -generico y .
Referencias
- Jech, Thomas (2003), Set Theory: Millennium Edition , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
- Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
- Kunen, Kenneth (2011), Teoría de conjuntos , Estudios de lógica, 34 , Londres: Publicaciones universitarias, ISBN 978-1-84890-050-9, Zbl 1262.03001
enlaces externos
- A. Miller (2009), Forcing Tidbits.