Un vuelo de Lévy , llamado así por el matemático francés Paul Lévy , es un paseo aleatorio en el que el paso del largo tienen una distribución de Lévy , una distribución de probabilidad que es pesada cola . Cuando se define como un paseo en un espacio de dimensión mayor que uno, los pasos realizados son en direcciones isotrópicas aleatorias.
El término "vuelo de Lévy" fue acuñado por Benoît Mandelbrot , [1] quien lo utilizó para una definición específica de la distribución de tamaños de paso. Usó el término vuelo de Cauchy para el caso donde la distribución de tamaños de paso es una distribución de Cauchy , [2] y vuelo de Rayleigh para cuando la distribución es una distribución normal [3] (que no es un ejemplo de una distribución de probabilidad de cola pesada ).
Investigadores posteriores han extendido el uso del término "vuelo de Lévy" para incluir casos en los que la caminata aleatoria tiene lugar en una cuadrícula discreta en lugar de en un espacio continuo. [4] [5]
El caso particular para el que Mandelbrot utilizó el término "vuelo de Lévy" [1] se define por la función de superviviente (comúnmente conocida como función de supervivencia) de la distribución de tamaños de paso, U , siendo [6]
Aquí D es un parámetro relacionado con la dimensión fractal y la distribución es un caso particular de la distribución de Pareto .
Propiedades
Los vuelos de Lévy son, por construcción, procesos de Markov . Para distribuciones generales del tamaño del paso, satisfaciendo la condición de potencia, la distancia desde el origen del paseo aleatorio tiende, después de un gran número de pasos, a una distribución estable debido al teorema del límite central generalizado , lo que permite que muchos procesos modelarse utilizando vuelos Lévy.
Las densidades de probabilidad de las partículas que experimentan un vuelo de Levy se pueden modelar utilizando una versión generalizada de la ecuación de Fokker-Planck , que generalmente se usa para modelar el movimiento browniano . La ecuación requiere el uso de derivadas fraccionarias . Para longitudes de salto que tienen una distribución de probabilidad simétrica, la ecuación toma una forma simple en términos de la derivada fraccionaria de Riesz . En una dimensión, la ecuación se lee como
donde γ es una constante similar a la constante de difusión, α es el parámetro de estabilidad [ cita requerida ] y f (x, t) es el potencial. La derivada de Riesz se puede entender en términos de su transformada de Fourier .
Esto se puede ampliar fácilmente a múltiples dimensiones.
Otra propiedad importante del vuelo de Lévy es la de las variaciones divergentes en todos los casos excepto en el de α = 2, es decir, el movimiento browniano. En general, el momento fraccionario θ de la distribución diverge si α ≤ θ . También,
La escala exponencial de las longitudes de los pasos le da a los vuelos de Lévy una propiedad invariante de escala , [ cita requerida ] y se utilizan para modelar datos que exhiben agrupaciones. [ cita requerida ]
Aplicaciones
La definición de un vuelo de Lévy proviene de las matemáticas relacionadas con la teoría del caos y es útil en la medición estocástica y las simulaciones de fenómenos naturales aleatorios o pseudoaleatorios. Los ejemplos incluyen análisis de datos de terremotos , matemáticas financieras , criptografía , análisis de señales, así como muchas aplicaciones en astronomía , biología y física .
Otra aplicación es la hipótesis de búsqueda de alimento en vuelo de Lévy . Cuando los tiburones y otros depredadores del océano no pueden encontrar comida, abandonan el movimiento browniano , el movimiento aleatorio visto en las moléculas de gas en remolino, para el vuelo de Lévy, una mezcla de trayectorias largas y movimientos cortos y aleatorios que se encuentran en fluidos turbulentos. Los investigadores analizaron más de 12 millones de movimientos registrados durante 5.700 días en 55 animales marcados con registradores de datos de 14 especies de depredadores oceánicos en los océanos Atlántico y Pacífico, incluidos tiburones sedosos , atún aleta amarilla , aguja azul y pez espada. Los datos mostraron que los vuelos de Lévy intercalados con el movimiento browniano pueden describir los patrones de caza de los animales. [7] [8] [9] [10] Las aves y otros animales [11] (incluidos los humanos) [12] siguen caminos que se han modelado utilizando el vuelo de Lévy (por ejemplo, cuando buscan comida). [13] Aparentemente, los datos de vuelo biológicos también pueden ser imitados por otros modelos, como las caminatas aleatorias compuestas correlacionadas, que crecen a través de escalas para converger en las caminatas Lévy óptimas. [13] Las caminatas brownianas compuestas se pueden ajustar con precisión a las caminatas Lévy teóricamente óptimas, pero no son tan eficientes como la búsqueda Lévy en la mayoría de los tipos de paisajes, lo que sugiere que la presión de selección para las características de la caminata Lévy es más probable que los patrones difusivos normales de múltiples escalas. [14]
Se puede realizar un enrutamiento eficiente en una red mediante enlaces que tengan una distribución de longitud de vuelo de Levy con valores específicos de alfa. [4] [5]
Ver también
- Distribución de cola grasa
- Distribución de cola pesada
- Proceso Lévy
- Distribución alfa estable de Lévy
- Hipótesis de alimentación de vuelo de Lévy
Notas
- ↑ a b Mandelbrot (1982 , p. 289)
- ^ Mandelbrot (1982 , p. 290)
- ^ Mandelbrot (1982 , p. 288)
- ↑ a b J. M. Kleinberg (2000). "Navegación en un mundo pequeño" . Naturaleza . 406 (6798): 845. Código Bibliográfico : 2000Natur.406..845K . doi : 10.1038 / 35022643 . PMID 10972276 .
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- ^ Mandelbrot (1982 , p. 294)
- ^ Sims, David W .; Southall, Emily J .; Humphries, Nicolas E .; Hays, Graeme C .; Bradshaw, Corey JA; Pitchford, Jonathan W .; James, Alex; Ahmed, Mohammed Z .; Brierley, Andrew S .; Hindell, Mark A .; Morritt, David; Musyl, Michael K .; Righton, David; Shepard, Emily LC; Wearmouth, Victoria J .; Wilson, Rory P .; Witt, Matthew J .; Metcalfe, Julian D. (2008). "Leyes de escala del comportamiento de búsqueda de depredadores marinos". Naturaleza . 451 (7182): 1098-1102. Código bibliográfico : 2008Natur.451.1098S . doi : 10.1038 / nature06518 . PMID 18305542 .
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Referencias
- Mandelbrot, Benoit B. (1982). La geometría fractal de la naturaleza (actualizado y ed. Aumentado). Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9. OCLC 7876824 .
Otras lecturas
- Viswanathan, G .; Bartumeus, F .; v. Buldyrev, S .; Catalán, J .; Fulco, U .; Havlin, S .; Da Luz, M .; Lyra, M .; Raposo, E .; Eugene Stanley, H. (2002). "Búsquedas aleatorias de vuelo de Lévy en fenómenos biológicos". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 314 (1–4): 208–213. Código bibliográfico : 2002PhyA..314..208V . doi : 10.1016 / S0378-4371 (02) 01157-3 .
- Viswanathan, G .; Afanasyev, V .; Buldyrev, S .; Havlin, S .; Daluz, M .; Raposo, E .; Stanley, H. (2000). "Vuelos de Lévy en búsquedas aleatorias". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 282 (1–2): 1–12. Código Bibliográfico : 2000PhyA..282 .... 1V . doi : 10.1016 / S0378-4371 (00) 00071-6 .
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- Shlesinger, Michael F .; Klafter, Joseph; Zumofen, Gert (diciembre de 1999). "Arriba, abajo y más allá del movimiento browniano" (PDF) . Revista estadounidense de física . 67 (12): 1253-1259. Código Bibliográfico : 1999AmJPh..67.1253S . doi : 10.1119 / 1.19112 . Archivado desde el original (PDF) el 28 de marzo de 2012.
enlaces externos
- Una comparación de las pinturas de Jackson Pollock con un modelo de vuelo de Lévy