En la teoría de la probabilidad , la evolución de Schramm-Loewner con parámetro κ , también conocida como evolución estocástica de Loewner (SLE κ ), es una familia de curvas planas aleatorias que han demostrado ser el límite de escala de una variedad de modelos de celosía bidimensional en mecánica estadística . Dado un parámetro κ y un dominio en el plano complejo U , da una familia de curvas aleatorias en U , con κ controlando cuánto gira la curva. Hay dos variantes principales de SLE, SLE cordalque da una familia de curvas aleatorias de dos puntos límite fijos, y radial SLE , que da una familia de curvas aleatorias de un punto límite fijo a un punto interior fijo. Estas curvas se definen para satisfacer la invariancia conforme y una propiedad de dominio de Markov .
Fue descubierto por Oded Schramm ( 2000 ) como un límite de escala conjeturado del árbol de expansión uniforme plano (UST) y los procesos probabilísticos de caminata aleatoria borrada en bucle plano (LERW), y lo desarrolló junto con Greg Lawler y Wendelin Werner en un serie de artículos conjuntos.
Además UST y LERW, la evolución de Schramm-Perseus se conjetura o probado para describir el límite de la escala de varios procesos estocásticos en el plano, como percolación crítico , el modelo crítico de Ising , el modelo de doble dímero , paseos autónomos evitando , y otra modelos de mecánica estadística crítica que exhiben invariancia conforme. Las curvas SLE son los límites de escala de las interfaces y otras curvas aleatorias que no se intersecan automáticamente en estos modelos. La idea principal es que la invariancia conforme y una cierta propiedad de Markov inherente a tales procesos estocásticos juntos hacen posible codificar estas curvas planas en un movimiento browniano unidimensional que se ejecuta en el límite del dominio (la función impulsora en la ecuación diferencial de Loewner) . De esta manera, muchas preguntas importantes sobre los modelos planos se pueden traducir en ejercicios de cálculo de Itō . De hecho, con esta estrategia se han probado varias predicciones matemáticamente no rigurosas realizadas por físicos que utilizan la teoría de campos conforme .
La ecuación de Loewner
Si D es un simplemente conectado , abierto dominio complejo no es igual a C , y γ es una curva simple en D a partir de la frontera (una función continua con γ (0) en el límite de D y γ ((0, ∞)) un subconjunto de D ), entonces para cada t ≥ 0, el complemento D t de γ ([0, t ]) está simplemente conectado y, por lo tanto, es conforme isomorfo a D por el teorema de mapeo de Riemann . Si f t es un isomorfismo normalizado adecuado de D a D t , entonces satisface una ecuación diferencial encontrada por Loewner (1923 , p. 121) en su trabajo sobre la conjetura de Bieberbach . A veces es más conveniente usar la función inversa g t de ƒ t , que es una representación conforme de D t a D .
En la ecuación de Perseus, z está en el dominio D , t ≥ 0, y los valores límites en el tiempo t = 0 son ƒ 0 ( z ) = z o g 0 ( z ) = z . La ecuación depende de una función de conducción ζ ( t ) tomando valores en el límite de D . Si D es el disco unitario y la curva γ está parametrizada por "capacidad", entonces la ecuación de Loewner es
- o
Cuando D es el semiplano superior, la ecuación de Loewner se diferencia de este por cambios de variable y es
- o
La función de conducción ζ y la curva γ están relacionadas por
donde ƒ t y g t se extienden por continuidad.
Ejemplo
Sea D el semiplano superior y considere un SLE 0 , por lo que la función impulsora ζ es un movimiento browniano de difusividad cero. Por tanto, la función ζ es idénticamente cero casi con seguridad y
- es el semiplano superior con la línea de 0 a remoto.
Evolución de Schramm-Loewner
La evolución de Schramm-Loewner es la curva aleatoria γ dada por la ecuación de Loewner como en la sección anterior, para la función de conducción
donde B ( t ) es el movimiento browniano en el límite de D , escalado por algún κ real . En otras palabras, la evolución de Schramm-Loewner es una medida de probabilidad en curvas planas, dada como la imagen de la medida de Wiener bajo este mapa.
En general, la curva γ no necesita ser simple, y el dominio D t no es el complemento de γ ([0, t ]) en D , sino que es el componente ilimitado del complemento.
Hay dos versiones de SLE, que utilizan dos familias de curvas, cada una de las cuales depende de un parámetro real no negativo κ :
- Chordal SLE κ , que se relaciona con las curvas que conectan dos puntos en el límite de un dominio (generalmente el semiplano superior, siendo los puntos 0 e infinito).
- Radial SLE κ , que se relaciona con las curvas que unen un punto en el límite de un dominio con un punto en el interior (a menudo curvas que unen 1 y 0 en el disco unitario).
SLE depende de la elección del movimiento browniano en el límite del dominio, y existen varias variaciones según el tipo de movimiento browniano que se utilice: por ejemplo, puede comenzar en un punto fijo o comenzar en un punto distribuido uniformemente en la unidad. círculo, o podría tener una deriva incorporada, y así sucesivamente. El parámetro κ controla la tasa de difusión del movimiento browniano, y el comportamiento de SLE depende críticamente de su valor.
Los dos dominios más comúnmente utilizados en la evolución de Schramm-Loewner son el semiplano superior y el círculo unitario. Aunque la ecuación diferencial de Loewner en estos dos casos parece diferente, son equivalentes hasta cambios de variables, ya que el círculo unitario y el semiplano superior son conformemente equivalentes. Sin embargo, una equivalencia conforme entre ellos no preserva el movimiento browniano en sus límites utilizado para impulsar la evolución de Schramm-Loewner.
Valores especiales de κ
- Para 0 ≤ κ <4, la curva γ ( t ) es simple (con probabilidad 1).
- Para 4 < κ <8, la curva γ ( t ) se interseca a sí misma y cada punto está contenido en un bucle, pero la curva no llena el espacio (con probabilidad 1).
- Para κ ≥ 8, la curva γ ( t ) llena el espacio (con probabilidad 1).
- κ = 2 corresponde a la caminata aleatoria borrada en bucle , o equivalentemente, ramas del árbol de expansión uniforme.
- Para κ = 8/3, SLE κ tiene la propiedad de restricción y se conjetura que es el límite de escala de las caminatas aleatorias que se auto evitan . Una versión de él es el límite exterior del movimiento browniano .
- κ = 3 es el límite de interfaces para el modelo de Ising .
- κ = 4 corresponde a la trayectoria del explorador armónico y las curvas de nivel del campo libre gaussiano .
- Para κ = 6, SLE κ tiene la propiedad de localidad. Esto surge en el límite de escala de la percolación crítica en el retículo triangular y, conjeturalmente, en otros retículos.
- κ = 8 corresponde a la ruta que separa el árbol de expansión uniforme de su árbol dual.
Cuando SLE corresponde a alguna teoría de campo conforme, el parámetro κ está relacionado con la carga central c de la teoría de campo conforme por
Cada valor de c <1 corresponde a dos valores de κ , un valor de κ entre 0 y 4, y un valor "dual" 16 / κ mayor que 4.
Beffara (2008) mostró que la dimensión de Hausdorff de las trayectorias (con probabilidad 1) es igual a min (2, 1 + κ / 8).
Fórmulas de probabilidad de paso a la izquierda para LES κ
La probabilidad de que el LES cordal κ γ esté a la izquierda del punto fijofue calculado por Schramm (2001) harvtxt error: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFSchramm2001 ( ayuda ) [1]
dónde es la función Gamma yes la función hipergeométrica . Esto se derivó utilizando la propiedad martingala de
y el lema de Itô para obtener la siguiente ecuación diferencial parcial para
Para κ = 4, el RHS es, que se utilizó en la construcción del explorador armónico, [2] y para κ = 6, obtenemos la fórmula de Cardy , que fue utilizada por Smirnov para probar la invariancia conforme en la percolación . [3]
Aplicaciones
Lawler, Schramm & Werner (2001) harvtxt error: múltiples objetivos (2x): CITEREFLawlerSchrammWerner2001 ( ayuda ) usó SLE 6 para probar la conjetura de Mandelbrot (1982) de que el límite del movimiento browniano planar tiene una dimensión fractal 4/3.
Crítico percolación en la celosía triangular se demostró estar relacionado con SLE 6 por Stanislav Smirnov . [4] Combinado con el trabajo anterior de Harry Kesten , [5] esto llevó a la determinación de muchos de los exponentes críticos para la percolación. [6] Este avance, a su vez, permitió un análisis más profundo de muchos aspectos de este modelo. [7] [8]
Lawler, Schramm y Werner demostraron que la caminata aleatoria borrada en bucle converge al LES 2 . [9] Esto permitió la derivación de muchas propiedades cuantitativas de la caminata aleatoria borrada de bucles (algunas de las cuales fueron derivadas anteriormente por Richard Kenyon [10] ). Se demostró que la curva de Peano aleatoria relacionada que describe el árbol de expansión uniforme converge a SLE 8 . [9]
Rohde y Schramm demostraron que κ está relacionado con la dimensión fractal de una curva por la siguiente relación
Simulación
Los programas de computadora (Matlab) se presentan en este repositorio de GitHub para simular curvas planas de Schramm Loewner Evolution.
Referencias
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Otras lecturas
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enlaces externos
- Lawler; Schramm; Werner (2001), Tutorial: SLE , Lawrence Hall of Science , Universidad de California, Berkeley (video de la conferencia de MSRI)
- Schramm, Oded (2001), Límites de escalabilidad invariante conforme y LES , MSRI (Diapositivas de una charla.)