En teoría de probabilidad y mecánica estadística , el campo libre gaussiano (GFF) es un campo aleatorio gaussiano , un modelo central de superficies aleatorias (funciones de altura aleatorias). Sheffield (2007) ofrece un estudio matemático del campo libre gaussiano.
La versión discreta se puede definir en cualquier gráfico , generalmente un entramado en el espacio euclidiano d- dimensional. La versión del continuo se define en R d o en un subdominio acotado de R d . Puede pensarse como una generalización natural del movimiento browniano unidimensional en d dimensiones de tiempo (pero aún un espacio); en particular, el continuo unidimensional GFF es solo el movimiento browniano unidimensional estándar o el puente browniano en un intervalo.
En la teoría de superficies aleatorias, también se le llama cristal armónico . También es el punto de partida para muchas construcciones en la teoría cuántica de campos , donde se llama campo libre bosónico euclidiano sin masa . Una propiedad clave de la GFF bidimensional es la invariancia conforme , que la relaciona de varias formas con la Evolución de Schramm-Loewner , ver Sheffield (2005) y Dubédat (2007) .
De manera similar al movimiento browniano, que es el límite de escala de una amplia gama de modelos discretos de caminata aleatoria (ver teorema de Donsker ), el continuo GFF es el límite de escala no solo de la GFF discreta en las celosías, sino de muchos modelos de función de altura aleatoria, como como función de altura de los mosaicos dominó planos aleatorios uniformes , véase Kenyon (2001) . El GFF planar es también el límite de las fluctuaciones del polinomio característico de un modelo de matriz aleatoria , el conjunto de Ginibre, ver Rider & Virág (2007) .
La estructura de la GFF discreta en cualquier gráfico está estrechamente relacionada con el comportamiento de la caminata aleatoria simple en el gráfico . Por ejemplo, el GFF discreto juega un papel clave en la demostración de Ding, Lee y Peres (2012) de varias conjeturas sobre el tiempo de cobertura de las gráficas (el número esperado de pasos que toma la caminata aleatoria para visitar todos los vértices).
Definición de la GFF discreta
Sea P ( x , y ) el núcleo de transición de la cadena de Markov dada por un paseo aleatorio en un gráfico finito G ( V , E ). Sea U un subconjunto fijo no vacío de los vértices V , y tome el conjunto de todas las funciones de valor realcon algunos valores prescritos en U . Luego definimos un hamiltoniano por
Entonces, la función aleatoria con densidad de probabilidad proporcional acon respecto a la medida de Lebesgue sobrese llama la GFF discreta con límites T .
No es difícil demostrar que el valor esperado es la extensión armónica discreta de los valores límite de U (armónico con respecto al núcleo de transición P ), y las covarianzas son iguales a la función de Green discreta G ( x , y ).
Por lo tanto, en una frase, la GFF discreto es el campo aleatorio gaussiano en V con estructura de covarianza dada por la función de Green asociada al núcleo de transición P .
El campo continuo
La definición del campo continuo necesariamente utiliza alguna maquinaria abstracta, ya que no existe como una función de altura aleatoria. En cambio, es una función generalizada aleatoria, o en otras palabras, una distribución de probabilidad sobre distribuciones (con dos significados diferentes de la palabra "distribución").
Dado un dominio Ω ⊆ R n , considere el producto interno de Dirichlet
para funciones suaves ƒ y g en Ω, coincidiendo con alguna función límite prescrito en, dónde es el vector de gradiente en. Luego tome el cierre del espacio de Hilbert con respecto a este producto interno , este es el espacio de Sobolev .
El continuo GFF en es un campo aleatorio gaussiano indexado por, es decir, una colección de variables aleatorias gaussianas , una para cada, denotado por , de manera que la estructura de covarianza es para todos .
De hecho, existe un campo tan aleatorio y su distribución es única. Dada cualquier base ortonormal de (con la condición de frontera dada), podemos formar la suma infinita formal
donde el son variables normales estándar de iid . Esta suma aleatoria casi seguramente no existirá como un elemento de, ya que su varianza es infinita. Sin embargo, existe como una función generalizada aleatoria , ya que para cualquier tenemos
por eso
es un número aleatorio finito bien definido.
Caso especial: n = 1
Aunque el argumento anterior muestra que no existe como un elemento aleatorio de , aún podría ser que sea una función aleatoria en en un espacio funcional más grande. De hecho, en dimensión, una base ortonormal de es dado por
- dónde forman una base ortonormal de
y entonces se ve fácilmente como un movimiento browniano unidimensional (o puente browniano, si los valores límite para están configurados de esa manera). Entonces, en este caso, es una función continua aleatoria. Por ejemplo, sies la base de Haar , entonces esta es la construcción de Lévy del movimiento browniano, ver, por ejemplo, la Sección 3 de Peres (2001) .
Por otro lado, para de hecho, se puede demostrar que existe solo como una función generalizada, véase Sheffield (2007) .
Caso especial: n = 2
En la dimensión n = 2, la invariancia conforme del continuo GFF se desprende de la invariancia del producto interno de Dirichlet.
Referencias
- Ding, J .; Lee, JR; Peres, Y. (2012), "Tiempos de cobertura, tiempos generales y medidas de mayorización" , Annals of Mathematics , 175 (3): 1409–1471, arXiv : 1004.4371 , doi : 10.4007 / annals.2012.175.3.8
- Dubédat, J. (2009), "SLE y el campo libre: funciones de partición y acoplamientos" , J. Amer. Matemáticas. Soc. , 22 (4): 995–1054, arXiv : 0712.3018 , Bibcode : 2009JAMS ... 22..995D , doi : 10.1090 / s0894-0347-09-00636-5 , S2CID 8065580
- Kenyon, R. (2001), "Dominos and the Gaussian free field", Annals of Probability , 29 (3): 1128-1137, arXiv : math-ph / 0002027 , doi : 10.1214 / aop / 1015345599 , MR 1872739 , S2CID 119640707
- Peres, Y. (2001), "An Invitation to Sample Paths of Brownian Motion" (PDF) , Lecture Notes en UC Berkeley
- Rider, B .; Virág, B. (2007), "El ruido en la ley circular y el campo libre gaussiano" , Avisos de investigación matemática internacional : ID de artículo rnm006, 32 páginas, MR 2361453
- Sheffield, S. (2005), "Conjuntos locales del campo libre gaussiano" , Charlas en el Fields Institute, Toronto, del 22 al 24 de septiembre de 2005, como parte del taller "Percolación, LES y temas relacionados".
- Sheffield, S. (2007), "Campos libres gaussianos para matemáticos", Teoría de la probabilidad y campos relacionados , 139 (3–4): 521–541, arXiv : math.PR/0312099 , doi : 10.1007 / s00440-006-0050 -1 , MR 2.322.706 , S2CID 14237927
- Friedli, S .; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas de celosía: una introducción matemática concreta . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.