Los corchetes de Lagrange son ciertas expresiones estrechamente relacionadas con los corchetes de Poisson que fueron introducidos por Joseph Louis Lagrange en 1808-1810 con el propósito de formular matemáticas de la mecánica clásica , pero a diferencia de los corchetes de Poisson, han dejado de usarse.
Definición
Suponga que ( q 1 ,…, q n , p 1 ,…, p n ) es un sistema de coordenadas canónicas en un espacio de fase . Si cada uno de ellos se expresa en función de dos variables, u y v , entonces el corchete de Lagrange de u y v se define mediante la fórmula
Propiedades
- Los corchetes de Lagrange no dependen del sistema de coordenadas canónicas ( q , p ). Si ( Q , P ) = ( Q 1 ,…, Q n , P 1 ,…, P n ) es otro sistema de coordenadas canónicas, de modo que
- es una transformación canónica , entonces el corchete de Lagrange es un invariante de la transformación, en el sentido de que
- Por lo tanto, los subíndices que indican las coordenadas canónicas a menudo se omiten.
- Si Ω es la forma simpléctica en el 2n espacio de fase -dimensional W y u 1 , ..., u 2n forman un sistema de coordenadas en W , coordenadas entonces canónicas ( q , p ) puede expresarse como funciones de las coordenadas u y la matriz de los soportes de Lagrange
- representa las componentes de Ω , visto como un tensor , en las coordenadas u . Esta matriz es la inversa de la matriz formada por los paréntesis de Poisson
- de las coordenadas u .
- Como corolario de las propiedades anteriores, las coordenadas ( Q 1 ,…, Q n , P 1 ,…, P n ) en un espacio de fase son canónicas si y solo si los corchetes de Lagrange entre ellos tienen la forma
Ver también
Referencias
- Cornelius Lanczos , Los principios variacionales de la mecánica , Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7 .
- Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [Los orígenes del cálculo simpléctico en la obra de Lagrange], L'Enseign. Matemáticas. (2) 44 (1998), núm. 3-4, 257-277. SEÑOR1659212
enlaces externos
- Eric W. Weisstein . "Soporte de Lagrange" . MathWorld .
- AP Soldatov (2001) [1994], "Soporte de Lagrange" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press