En la mecánica hamiltoniana , una transformación canónica es un cambio de coordenadas canónicas ( q , p , t ) → ( Q , P , t ) que conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton . Esto a veces se conoce como invariancia de forma . No es necesario que conserve la forma del propio hamiltoniano . Las transformaciones canónicas son útiles por derecho propio y también forman la base de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi (un método útil para calcular cantidades conservadas ) y el teorema de Liouville(en sí mismo la base de la mecánica estadística clásica ).
Dado que la mecánica de Lagrange se basa en coordenadas generalizadas , las transformaciones de las coordenadas q → Q no afectan la forma de las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, no afectan la forma de las ecuaciones de Hamilton si simultáneamente cambiamos la cantidad de movimiento mediante una transformación de Legendre en
Por lo tanto, las transformaciones de coordenadas (también llamadas transformaciones de puntos ) son un tipo de transformación canónica. Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplia, ya que las antiguas coordenadas generalizadas, los momentos e incluso el tiempo pueden combinarse para formar las nuevas coordenadas y momentos generalizados. Las transformaciones canónicas que no incluyen el tiempo explícitamente se denominan transformaciones canónicas restringidas (muchos libros de texto solo consideran este tipo).
Para mayor claridad, restringimos la presentación aquí al cálculo y la mecánica clásica . Los lectores familiarizados con matemáticas más avanzadas, como paquetes cotangentes , derivadas exteriores y variedades simplécticas, deben leer el artículo relacionado con el simplectomorfismo . (Las transformaciones canónicas son un caso especial de simplectomorfismo). Sin embargo, al final de este artículo se incluye una breve introducción a la descripción matemática moderna.
Notación
Las variables en negrita como q representan una lista de N coordenadas generalizadas que no necesitan transformarse como un vector en rotación , por ejemplo,
Un punto sobre una variable o lista significa la derivada del tiempo, por ejemplo,
La notación del producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de la suma de los productos de los componentes correspondientes, por ejemplo,
El producto escalar (también conocido como "producto interno") mapea las dos listas de coordenadas en una variable que representa un solo valor numérico.
Acercamiento directo
La forma funcional de las ecuaciones de Hamilton es
Por definición, las coordenadas transformadas tienen una dinámica análoga
donde K ( Q , P ) es un nuevo hamiltoniano (a veces llamado kamiltoniano [1] ) que debe determinarse.
En general, una transformación ( q , p , t ) → ( Q , P , t ) no conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton . Para las transformaciones independientes del tiempo entre ( q , p ) y ( Q , P ) podemos verificar si la transformación es canónica restringida, como sigue. Dado que las transformaciones restringidas no tienen una dependencia temporal explícita (por definición), la derivada temporal de una nueva coordenada generalizada Q m es
donde {⋅, ⋅} es el paréntesis de Poisson .
También tenemos la identidad para el momento conjugado P m
Si la transformación es canónica, estos dos deben ser iguales, lo que da como resultado las ecuaciones
El argumento análogo para los momentos generalizados P m conduce a otros dos conjuntos de ecuaciones
Estas son las condiciones directas para comprobar si una transformación dada es canónica.
Teorema de Liouville
Las condiciones directas nos permiten probar el teorema de Liouville , que establece que el volumen en el espacio de fase se conserva bajo transformaciones canónicas, es decir,
Por cálculo , la última integral debe ser igual a las primeras veces el jacobiano J
donde el jacobiano es el determinante de la matriz de derivadas parciales , que escribimos como
La explotación de la propiedad de "división" de los jacobianos produce
Eliminar las variables repetidas da
La aplicación de las condiciones directas anteriores produce J = 1 .
Enfoque de función generadora
Para garantizar una transformación válida entre ( q , p , H ) y ( Q , P , K ) , podemos recurrir a un enfoque de función generadora indirecta . Ambos conjuntos de variables deben obedecer el principio de Hamilton . Esa es la Acción Integral sobre la Lagrangiana. y respectivamente, obtenido por el hamiltoniano a través de la transformación de Legendre ("inversa") , ambos deben ser estacionarios (de modo que uno pueda usar las ecuaciones de Euler-Lagrange para llegar a ecuaciones de la forma mencionada y designada anteriormente; como se muestra, por ejemplo, aquí ):
Una forma de satisfacer ambas igualdades integrales variacionales es tener
Los lagrangianos no son únicos: siempre se puede multiplicar por una constante λ y sumar una derivada de tiempo totaldG/dty producir las mismas ecuaciones de movimiento (ver como referencia: [1] ).
En general, el factor de escala λ se establece igual a uno; Las transformaciones canónicas para las que λ ≠ 1 se denominan transformaciones canónicas extendidas .dG/dt se mantiene, de lo contrario el problema se volvería trivial y no habría mucha libertad para que las nuevas variables canónicas difieran de las antiguas.
Aquí G es una función generadora de una antigua coordenada canónica ( q o p ), una nueva coordenada canónica ( Q o P ) y (posiblemente) el tiempo t . Por lo tanto, hay cuatro tipos básicos de funciones generadoras (aunque pueden existir mezclas de estos cuatro tipos), dependiendo de la elección de las variables. Como se mostrará a continuación, la función generadora definirá una transformación de coordenadas canónicas antiguas a nuevas , y se garantiza que cualquier transformación ( q , p ) → ( Q , P ) será canónica.
Función generadora de tipo 1
La función generadora de tipo 1 G 1 depende solo de las coordenadas generalizadas antiguas y nuevas
Para derivar la transformación implícita, expandimos la ecuación de definición anterior
Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplir
Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera. El primer conjunto de N ecuaciones
definir relaciones entre las nuevas coordenadas generalizadas Q y las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada Q k en función de las antiguas coordenadas canónicas. Sustitución de estas fórmulas para las coordenadas Q en el segundo conjunto de N ecuaciones
produce fórmulas análogas para los nuevos momentos generalizados P en términos de las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) como funciones de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . Sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final.
produce una fórmula para K en función de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) .
En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, porque la función de generación suele ser sencilla. Por ejemplo, deja
Esto da como resultado el intercambio de las coordenadas generalizadas por los momentos y viceversa.
y K = H . Este ejemplo ilustra cuán independientes son las coordenadas y los momentos en la formulación hamiltoniana; son variables equivalentes.
Función generadora de tipo 2
La función generadora de tipo 2 G 2 depende sólo de las antiguas coordenadas generalizadas y los nuevos momentos generalizados.
donde el Los términos representan una transformación de Legendre para cambiar el lado derecho de la siguiente ecuación. Para derivar la transformación implícita, expandimos la ecuación de definición anterior
Dado que las coordenadas antiguas y los nuevos momentos son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben ser válidas.
Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera. El primer conjunto de N ecuaciones
definir relaciones entre los nuevos momentos generalizados P y las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada P k en función de las antiguas coordenadas canónicas. Sustitución de estas fórmulas para las coordenadas P en el segundo conjunto de N ecuaciones
produce fórmulas análogas para las nuevas coordenadas generalizadas Q en términos de las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) como funciones de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . Sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final.
produce una fórmula para K en función de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) .
En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, porque la función de generación suele ser sencilla. Por ejemplo, deja
donde g es un conjunto de N funciones. Esto da como resultado una transformación puntual de las coordenadas generalizadas.
Función generadora de tipo 3
La función generadora de tipo 3 G 3 depende solo de los viejos momentos generalizados y las nuevas coordenadas generalizadas
donde el Los términos representan una transformación de Legendre para cambiar el lado izquierdo de la siguiente ecuación. Para derivar la transformación implícita, expandimos la ecuación de definición anterior
Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplir
Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera. El primer conjunto de N ecuaciones
definir relaciones entre las nuevas coordenadas generalizadas Q y las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada Q k en función de las antiguas coordenadas canónicas. Sustitución de estas fórmulas para las coordenadas Q en el segundo conjunto de N ecuaciones
produce fórmulas análogas para los nuevos momentos generalizados P en términos de las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) como funciones de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . Sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final.
produce una fórmula para K en función de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) .
En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, porque la función de generación suele ser sencilla.
Función generadora de tipo 4
La función generadora de tipo 4 depende solo de los viejos y nuevos momentos generalizados
donde el Los términos representan una transformación de Legendre para cambiar ambos lados de la siguiente ecuación. Para derivar la transformación implícita, expandimos la ecuación de definición anterior
Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplir
Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera. El primer conjunto de N ecuaciones
definir relaciones entre los nuevos momentos generalizados P y las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada P k en función de las antiguas coordenadas canónicas. Sustitución de estas fórmulas para las coordenadas P en el segundo conjunto de N ecuaciones
produce fórmulas análogas para las nuevas coordenadas generalizadas Q en términos de las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) como funciones de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . Sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final.
produce una fórmula para K en función de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) .
El movimiento como transformación canónica
El movimiento en sí (o, de manera equivalente, un cambio en el origen del tiempo) es una transformación canónica. Si y , entonces el principio de Hamilton se satisface automáticamente
desde una trayectoria válida siempre debe satisfacer el principio de Hamilton , independientemente de los puntos finales.
Descripción matemática moderna
En términos matemáticos, las coordenadas canónicas son cualquier coordenada en el espacio de fase ( paquete cotangente ) del sistema que permite que la forma canónica se escriba como
hasta un diferencial total ( forma exacta ). El cambio de variable entre un conjunto de coordenadas canónicas y otro es una transformación canónica . El índice de las coordenadas generalizadas q se escribe aquí como superíndice (), no como un subíndice como se hizo anteriormente (). El superíndice transmite las propiedades de transformación contravariante de las coordenadas generalizadas y no significa que la coordenada se eleva a una potencia. Se pueden encontrar más detalles en el artículo de simplectomorfismo .
Historia
La primera gran aplicación de la transformación canónica fue en 1846, por Charles Delaunay , en el estudio del sistema Tierra-Luna-Sol . Este trabajo resultó en la publicación de un par de grandes volúmenes como Mémoires por la Academia de Ciencias de Francia , en 1860 y 1867.
Ver también
- Simplectomorfismo
- Ecuación de Hamilton-Jacobi
- Teorema de Liouville (hamiltoniano)
- Transformación de Mathieu
- Transformación canónica lineal
Referencias
- ^ Goldstein 1980 , p. 380
- Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Reading, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co. p. 380. ISBN 0-201-02918-9.
- Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975) [1939]. Mecánica . Traducido por Bell, SJ ; Sykes, JB (3ª ed.). Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.