En la teoría de Galois , una disciplina dentro del campo del álgebra abstracta , un resolutivo para un grupo de permutación G es un polinomio cuyos coeficientes dependen polinomialmente de los coeficientes de un polinomio dado p y tiene, en términos generales, una raíz racional si y solo si Galois grupo de p está incluido en G . Más exactamente, si el grupo de Galois está incluido en G , entonces el resolutivo tiene una raíz racional y lo contrario es cierto si la raíz racional es una raíz simple . Los disolventes fueron introducidos porJoseph Louis Lagrange y utilizado sistemáticamente por Évariste Galois . Hoy en día siguen siendo una herramienta fundamental para el cálculo de grupos de Galois . Los ejemplos más simples de solventes son
- dónde es el discriminante , que es un resolutivo para el grupo alterno . En el caso de una ecuación cúbica , este resolutivo a veces se denomina resolutivo cuadrático ; sus raíces aparecen explícitamente en las fórmulas para las raíces de una ecuación cúbica.
- El resolutor cúbico de una ecuación cuártica , que es un resolutor para el grupo diedro de 8 elementos.
- El resolutivo Cayley es un resolutivo para el grupo Galois de máxima resolución en grado cinco. Es un polinomio de grado 6.
Estos tres solventes tienen la propiedad de ser siempre separables , lo que significa que, si tienen una raíz múltiple, entonces el polinomio p no es irreducible. No se sabe si existe un resolutivo siempre separable para cada grupo de permutaciones.
Para cada ecuación, las raíces pueden expresarse en términos de radicales y de una raíz de un resolutivo para un grupo resoluble, porque el grupo de Galois de la ecuación sobre el campo generado por esta raíz es resoluble.
Definición
Sea n un entero positivo, que será el grado de la ecuación que consideraremos, y ( X 1 , ..., X n ) una lista ordenada de indeterminados . Esto define el polinomio genérico de grado n
donde E i es el i- ésimo polinomio simétrico elemental .
El grupo simétrico S n actúa sobre los X i permutándolos, y esto induce una acción sobre los polinomios en el X i . El estabilizador de un polinomio dado bajo esta acción es generalmente trivial, pero algunos polinomios tienen un estabilizador más grande. Por ejemplo, el estabilizador de un polinomio simétrico elemental es el grupo completo S n . Si el estabilizador no es trivial, el polinomio está fijado por algún subgrupo G no trivial ; se dice una invariante de G . Por el contrario, dado un subgrupo G de S n , un invariante de G es un invariante resolutivo para G si no es un invariante de ningún subgrupo más grande de S n . [1]
Encontrar invariantes para un subgrupo dado G de S n es relativamente fácil; se puede sumar la órbita de un monomio bajo la acción de S n . Sin embargo, puede ocurrir que el polinomio resultante sea invariante para un grupo más grande. Por ejemplo, considere el caso del subgrupo G de S 4 de orden 4, que consta de (12) (34) , (13) (24) , (14) (23) y la identidad (para la notación, consulte Grupo de permutación ). El monomio X 1 X 2 da el invariante 2 ( X 1 X 2 + X 3 X 4 ) . No es una invariante resolvente para G , como ser invariante por (12) , de hecho, es una invariante resolvente para el subgrupo diedro ⟨(12), (1324)⟩ , y se usa para definir el resolvente cúbica de la quartic ecuación .
Si P es un invariante resolutivo para un grupo G de índice m , entonces su órbita bajo S n tiene el orden m . Sean P 1 , ..., P m los elementos de esta órbita. Entonces el polinomio
es invariante bajo S n . Por lo tanto, cuando se expanden, sus coeficientes son polinomios en X i que son invariantes bajo la acción del grupo de simetría y, por lo tanto, pueden expresarse como polinomios en los polinomios simétricos elementales. En otras palabras, R G es un polinomio irreducible en Y cuyos coeficientes son polinomio en los coeficientes de F . Teniendo el invariante resolutivo como raíz, se le llama resolutivo (a veces ecuación resolutiva ).
Considere ahora un polinomio irreducible
con coeficientes en un campo dado K (típicamente el campo de racionales ) y raíces x i en una extensión de campo algebraicamente cerrado . Sustituyendo X i por x i y los coeficientes de F por los de f en lo que precede, obtenemos un polinomio, también llamado resolutivo o resolutivo especializado en caso de ambigüedad). Si el grupo de Galois de f está contenido en G , la especialización del invariante resolutivo es invariante por G y, por lo tanto, es una raíz deque pertenece a K (es racional en K ). Por el contrario, sitiene una raíz racional, que no es una raíz múltiple, el grupo de Galois de f está contenido en G .
Terminología
Hay algunas variantes en la terminología.
- Dependiendo de los autores o del contexto, resolutivo puede referirse a una ecuación resolutiva invariante en lugar de resolutiva .
- Un resolutivo de Galois es un resolutivo tal que el invariante resolutivo es lineal en las raíces.
- La El resolutivo de Lagrange puede referirse al polinomio lineal
- dónde es una raíz n- ésima primitiva de la unidad . Es el invariante resolutivo de un resolutivo de Galois para el grupo de identidad.
- Un resolutivo relativo se define de manera similar como un resolutivo, pero considerando solo la acción de los elementos de un subgrupo dado H de S n , que tiene la propiedad de que, si un resolutivo relativo para un subgrupo G de H tiene una raíz simple racional y el grupo de f está contenido en H , entonces el grupo de Galois de f está contenido en G . En este contexto, un resolutivo habitual se denomina resolutivo absoluto .
Método resolutivo
El grupo de Galois de un polinomio de grado es o un subgrupo adecuado de eso. Si un polinomio es separable e irreducible, entonces el grupo de Galois correspondiente es un subgrupo transitivo.
Subgrupos transitivos de Formar un gráfico dirigido: un grupo puede ser un subgrupo de varios grupos. Un resolutivo puede decir si el grupo de Galois de un polinomio es un subgrupo (no necesariamente apropiado) de un grupo dado. El método resolutivo es solo una forma sistemática de verificar los grupos uno por uno hasta que solo sea posible un grupo. Esto no significa que se deban comprobar todos los grupos: cada resolutivo puede anular muchos grupos posibles. Por ejemplo, para polinomios de grado cinco nunca es necesario un resolutivo de: disolventes para y dar la información deseada.
Una forma es comenzar desde subgrupos máximos (transitivos) hasta encontrar el correcto y luego continuar con subgrupos máximos de ese.
Referencias
- Dickson, Leonard E. (1959). Teorías algebraicas . Nueva York: Dover Publications Inc. p. ix + 276. ISBN 0-486-49573-6.
- Girstmair, K. (1983). "Sobre el cálculo de solventes y grupos de Galois". Manuscripta Mathematica . 43 (2-3): 289-307. doi : 10.1007 / BF01165834 . S2CID 123752910 .