En álgebra , una ecuación cúbica en una variable es una ecuación de la forma
en el que a es distinto de cero.
Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes de un , b , c , y d de la ecuación cúbica son números reales , entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todos los impares grado funciones polinómicas ). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar por los siguientes medios:
- algebraicamente , es decir, que se pueden expresar por una fórmula cúbico participación de los cuatro coeficientes, los cuatro básicos operaciones aritméticas y n th raíces (radicales) . (Esto también es cierto para las ecuaciones cuadráticas (segundo grado) y cuárticas (cuarto grado), pero no para las ecuaciones de grado superior, según el teorema de Abel-Ruffini ).
- trigonométricamente
- Las aproximaciones numéricas de las raíces se pueden encontrar utilizando algoritmos de búsqueda de raíces como el método de Newton .
No es necesario que los coeficientes sean números reales. Mucho de lo que se cubre a continuación es válido para coeficientes en cualquier campo con características distintas de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no pertenecen necesariamente al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales) .
Historia
Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios. [1] [2] [3] Se han encontrado tablillas cuneiformes babilónicas (siglos XX al XVI aC) con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas. [4] [5] Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia que confirme que lo hayan hecho. [6] El problema de duplicar el cubo involucra la ecuación cúbica más simple y más antigua estudiada, y una para la cual los antiguos egipcios no creían que existiera una solución. [7] En el siglo V aC, Hipócrates redujo este problema al de encontrar dos proporcionales medios entre una línea y otra de dos veces su longitud, pero no pudo resolver esto con una construcción de brújula y regla , [8] una tarea que ahora es conocido por ser imposible. Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III. [2] En el siglo III d. C., el matemático griego Diofanto encontró soluciones enteras o racionales para algunas ecuaciones cúbicas bivariadas ( ecuaciones diofánticas ). [3] [9] Se cree que Hipócrates, Menaecmo y Arquímedes estuvieron cerca de resolver el problema de doblar el cubo usando secciones cónicas que se cruzan , [8] aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos estaban pensando en ecuaciones cúbicas o simplemente problemas que pueden conducir a ecuaciones cúbicas. Algunos otros, como TL Heath , que tradujo todas las obras de Arquímedes, no están de acuerdo, presentando evidencia de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos cónicas , pero también discutieron las condiciones donde las raíces son 0, 1 o 2. [10]
En el siglo séptimo, la dinastía Tang astrónomo el matemático Wang Xiaotong en su tratado matemático titulado Jigu suanjing estableció sistemática y resolverse numéricamente 25 ecuaciones cúbicas de la forma x 3 + px 2 + qx = N , 23 de ellos con p , q ≠ 0 , y dos de ellos con q = 0 . [11]
En el siglo XI, el poeta-matemático persa, Omar Khayyam (1048-1131), hizo un progreso significativo en la teoría de ecuaciones cúbicas. En un artículo temprano, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y afirmó que no se puede resolver usando construcciones de compás y regla. También encontró una solución geométrica . [12] [13] En su trabajo posterior, el Tratado de demostración de problemas de álgebra , escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de secciones cónicas . [14] [15]
En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara II intentó la solución de ecuaciones cúbicas sin éxito general. Sin embargo, dio un ejemplo de una ecuación cúbica: x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35 . [16] En el siglo XII, otro matemático persa , Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), escribió el Al-Muʿādalāt ( Tratado de ecuaciones ), que trataba de ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Usó lo que más tarde se conocería como el " método Ruffini - Horner " para aproximar numéricamente la raíz de una ecuación cúbica. También usó los conceptos de máximos y mínimos de curvas para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. [17] Entendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica para encontrar soluciones algebraicas a ciertos tipos de ecuaciones cúbicas. [18]
En su libro Flos , Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (1170-1250), pudo aproximar mucho la solución positiva a la ecuación cúbica x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20 . Escribiendo en números babilónicos dio el resultado como 1,22,7,42,33,4,40 (equivalente a 1 + 22/60 + 7/60 2 + 42/60 3 + 33/60 4 + 4/60 5 + 40/60 6 ), que tiene un error relativo de aproximadamente 10 −9 . [19]
A principios del siglo XVI, el matemático italiano Scipione del Ferro (1465-1526) encontró un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, las de la forma x 3 + mx = n . De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma si se permite que m y n sea negativa, pero los números negativos no se sabe que él en ese momento. Del Ferro mantuvo en secreto su logro hasta poco antes de su muerte, cuando se lo contó a su alumno Antonio Fior.
En 1530, Niccolò Tartaglia (1500-1557) recibió dos problemas en ecuaciones cúbicas de Zuanne da Coi y anunció que podía resolverlos. Pronto fue desafiado por Fior, lo que llevó a una famosa competencia entre los dos. Cada concursante tenía que aportar una determinada cantidad de dinero y proponer una serie de problemas para que su rival los resolviera. Quien resolviera más problemas en 30 días recibiría todo el dinero. Tartaglia recibió preguntas en la forma x 3 + mx = n , para las cuales había elaborado un método general. Fior recibió preguntas en la forma x 3 + mx 2 = n , que le resultó demasiado difícil de resolver, y Tartaglia ganó el concurso.
Más tarde, Gerolamo Cardano (1501-1576) convenció a Tartaglia de que revelara su secreto para resolver ecuaciones cúbicas. En 1539, Tartaglia lo hizo solo con la condición de que Cardano nunca lo revelara y que si escribía un libro sobre cúbicos, le daría tiempo a Tartaglia para publicarlo. Unos años más tarde, Cardano se enteró del trabajo anterior de Del Ferro y publicó el método de Del Ferro en su libro Ars Magna en 1545, lo que significa que Cardano le dio a Tartaglia seis años para publicar sus resultados (con el crédito otorgado a Tartaglia por una solución independiente). La promesa de Cardano a Tartaglia decía que él no publicaría el trabajo de Tartaglia, y Cardano sintió que estaba publicando el de Del Ferro, a fin de sortear la promesa. Sin embargo, esto llevó a un desafío a Cardano de Tartaglia, que Cardano negó. El desafío fue finalmente aceptado por el alumno de Cardano, Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari lo hizo mejor que Tartaglia en la competencia, y Tartaglia perdió tanto su prestigio como sus ingresos. [20]
Cardano notó que el método de Tartaglia a veces requería que extrajera la raíz cuadrada de un número negativo. Incluso incluyó un cálculo con estos números complejos en Ars Magna , pero realmente no lo entendió. Rafael Bombelli estudió este tema en detalle [21] y, por lo tanto, a menudo se lo considera el descubridor de los números complejos.
François Viète (1540-1603) derivó independientemente la solución trigonométrica para el cúbico con tres raíces reales, y René Descartes (1596-1650) amplió el trabajo de Viète. [22]
Factorización
Si los coeficientes de una ecuación cúbica son números racionales , se puede obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, multiplicando todos los coeficientes por un múltiplo común de sus denominadores. Tal ecuación
con coeficientes enteros, se dice que es reducible si el polinomio del lado izquierdo es el producto de polinomios de grados inferiores. Según el lema de Gauss , si la ecuación es reducible, se puede suponer que los factores tienen coeficientes enteros.
Encontrar las raíces de una ecuación cúbica reducible es más fácil que resolver el caso general. De hecho, si la ecuación es reducible, uno de los factores debe tener el grado uno y, por tanto, la forma
con q y p ser números primos entre sí . La prueba de la raíz racional permite hallazgo q y p mediante el examen de un número finito de casos (ya q debe ser un divisor de un y p debe ser un divisor de d ).
Por lo tanto, una raíz es y las otras raíces son las raíces del otro factor, que se puede encontrar por división polinomial larga . Este otro factor es
(Los coeficientes parecen no ser números enteros, pero deben ser enteros si p / q es una raíz).
Luego, las otras raíces son las raíces de este polinomio cuadrático y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática .
Cúbico deprimido
Cúbicos de la forma
se dice que están deprimidos. Son mucho más simples que las cúbicas generales, pero son fundamentales, porque el estudio de cualquier cúbico puede reducirse mediante un simple cambio de variable a la de un cúbico deprimido.
Dejar
ser una ecuación cúbica. El cambio de variable
da un cúbico (en t ) que no tiene término en t 2 .
Después de dividir por un uno tiene la ecuación cúbica reducida
con
Las raices de la ecuación original están relacionados con las raíces de la ecuación deprimida por las relaciones
por .
Discriminante y naturaleza de las raíces.
La naturaleza (real o no, distinta o no) de las raíces de un cúbico se puede determinar sin calcularlas explícitamente, utilizando el discriminante .
Discriminante
El discriminante de un polinomio es una función de sus coeficientes que es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple , o si es divisible por el cuadrado de un polinomio no constante. En otras palabras, el discriminante es distinto de cero si y solo si el polinomio es libre de cuadrados .
Si r 1 , r 2 , r 3 son las tres raíces (no necesariamente distintas ni reales ) de la cúbica entonces el discriminante es
El discriminante del cúbico deprimido es
El discriminante de la cúbica general es
Es el producto de y el discriminante del cúbico deprimido correspondiente. Usando la fórmula que relaciona el cúbico general y el cúbico deprimido asociado, esto implica que el discriminante del cúbico general se puede escribir como
De ello se deduce que uno de estos dos discriminantes es cero si y solo si el otro también es cero y, si los coeficientes son reales , los dos discriminantes tienen el mismo signo. En resumen, la misma información se puede deducir de cualquiera de estos dos discriminantes.
Para probar las fórmulas anteriores, se pueden usar las fórmulas de Vieta para expresar todo como polinomios en r 1 , r 2 , r 3 y a . La demostración luego da como resultado la verificación de la igualdad de dos polinomios.
Naturaleza de las raíces
Si los coeficientes de un polinomio son números reales y su discriminante no es cero, hay dos casos:
- Si el cúbico tiene tres raíces reales distintas
- Si el cúbico tiene una raíz real y dos raíces conjugadas complejas no reales .
Esto se puede probar de la siguiente manera. Primero, si r es una raíz de un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugado complejo también es una raíz. Entonces, las raíces no reales, si las hay, ocurren como pares de raíces conjugadas complejas. Como un polinomio cúbico tiene tres raíces (no necesariamente distintas) según el teorema fundamental del álgebra , al menos una raíz debe ser real.
Como se indicó anteriormente, si r 1 , r 2 , r 3 son las tres raíces de la cúbica, entonces el discriminante es
Si las tres raíces son reales y distintas, el discriminante es un producto de reales positivos, es decir
Si solo una raíz, digamos r 1 , es real, entonces r 2 y r 3 son conjugados complejos, lo que implica que r 2 - r 3 es un número puramente imaginario y, por tanto, que ( r 2 - r 3 ) 2 es real y negativo. Por otro lado, r 1 - r 2 y r 1 - r 3 son conjugados complejos y su producto es real y positivo. [23] Por tanto, el discriminante es el producto de un solo número negativo y varios positivos. Es decir
Raíz múltiple
Si el discriminante de un cúbico es cero, el cúbico tiene una raíz múltiple . Si además sus coeficientes son reales, entonces todas sus raíces son reales.
El discriminante del cúbico deprimido es cero si Si p también es cero, entonces p = q = 0 , y 0 es una raíz triple del cúbico. Siy p ≠ 0 , entonces el cúbico tiene una raíz simple
y una doble raíz
En otras palabras,
Este resultado puede probarse expandiendo el último producto o recuperarse resolviendo el sistema bastante simple de ecuaciones que resulta de las fórmulas de Vieta .
Al usar la reducción de un cúbico deprimido , estos resultados se pueden extender al cúbico general. Esto da: Si el discriminante de la cúbica es cero, entonces
- tampoco, si el cúbico tiene una raíz triple
- y
- o si el cúbico tiene una raíz doble
- y una simple raíz,
- y por lo tanto
Característica 2 y 3
Los resultados anteriores son válidos cuando los coeficientes pertenecen a un campo de característica diferente a 2 o 3, pero deben modificarse para la característica 2 o 3, debido a las divisiones involucradas entre 2 y 3.
La reducción a un cúbico deprimido funciona para la característica 2, pero no para la característica 3. Sin embargo, en ambos casos, es más sencillo establecer y enunciar los resultados para la característica cúbica general. La principal herramienta para ello es el hecho de que una raíz múltiple es una raíz común del polinomio y su derivada formal . En estas características, si la derivada no es una constante, tiene una raíz única, siendo lineal en la característica 3, o el cuadrado de un polinomio lineal en la característica 2. Esto permite calcular la raíz múltiple, y la tercera raíz se puede deducir de la suma de las raíces, que es proporcionada por las fórmulas de Vieta .
Una diferencia con otras características es que, en la característica 2, la fórmula para una raíz doble involucra una raíz cuadrada y, en la característica 3, la fórmula para una raíz triple involucra una raíz cúbica.
Fórmula de Cardano
A Gerolamo Cardano se le atribuye la publicación de la primera fórmula para resolver ecuaciones cúbicas, atribuyéndola a Scipione del Ferro . La fórmula se aplica a cúbicos deprimidos, pero, como se muestra en § Cúbicos deprimidos , permite resolver todas las ecuaciones cúbicas.
El resultado de Cardano es que, si
es una ecuación cúbica tal que p y q son números reales tales que entonces la ecuación tiene la raíz real
Consulte § Derivación de las raíces , a continuación, para conocer varios métodos para obtener este resultado.
Como se muestra en § Naturaleza de las raíces , las otras dos raíces son números conjugados complejos no reales , en este caso. Más tarde se demostró (Cardano no conocía los números complejos ) que las otras dos raíces se obtienen al multiplicar cualquiera de las raíces cúbicas por la raíz cúbica primitiva de la unidad. y la otra raíz cúbica por
Si hay tres raíces reales, pero la teoría de Galois permite probar que, si no hay una raíz racional, las raíces no pueden expresarse mediante una expresión algebraica que involucre solo números reales. Por tanto, la ecuación no se puede resolver en este caso con el conocimiento del tiempo de Cardano. Este caso se ha denominado así casus irreducibilis , que significa caso irreductible en latín.
En casus irreducibilis , la fórmula de Cardano aún se puede usar, pero se necesita cierto cuidado en el uso de raíces cúbicas. Un primer método es definir los símbolos y como representando los valores principales de la función raíz (que es la raíz que tiene la mayor parte real). Con esta convención, la fórmula de Cardano para las tres raíces sigue siendo válida, pero no es puramente algebraica, ya que la definición de una parte principal no es puramente algebraica, ya que implica desigualdades para comparar partes reales. Además, el uso de la raíz cúbica principal puede dar un resultado incorrecto si los coeficientes son números complejos no reales. Además, si los coeficientes pertenecen a otro campo , la raíz cúbica principal no se define en general.
La segunda forma de hacer que la fórmula de Cardano sea siempre correcta es señalar que el producto de las dos raíces cúbicas debe ser - p / 3 . Resulta que una raíz de la ecuación es
En esta fórmula, los símbolos y denotar cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz cúbica. Las otras raíces de la ecuación se obtienen cambiando la raíz cúbica o, de manera equivalente, multiplicando la raíz cúbica por una raíz cúbica primitiva de la unidad, es decir
Esta fórmula para las raíces siempre es correcta, excepto cuando p = q = 0 , con la condición de que si p = 0 , la raíz cuadrada se elige de modo que C ≠ 0 . Sin embargo, la fórmula es inútil en estos casos ya que las raíces se pueden expresar sin raíz cúbica. Del mismo modo, la fórmula también es inútil en los otros casos en los que no se necesita raíz cúbica, que es cuandoy cuando el polinomio cúbico no es irreducible .
Esta fórmula también es correcto cuando p y q pertenecen a cualquier campo de característica que no sea 2 o 3.
Fórmula cúbica general
Una fórmula cúbico para las raíces de la ecuación cúbica general (con un ≠ 0 )
se puede deducir de cada variante de la fórmula de Cardano reduciendo a un cúbico deprimido . La variante que aquí se presenta es válida no solo para coeficientes reales, sino también para coeficientes a , b , c , d pertenecientes a cualquier campo de característica diferente de 2 y 3.
Siendo la fórmula bastante complicada, vale la pena dividirla en fórmulas más pequeñas.
Dejar
(Ambas cosas y se puede expresar como resultantes de la cúbica y sus derivadas: es −1/8a multiplicado por la resultante de la cúbica y su segunda derivada, y es −1/12a multiplicado por la resultante de la primera y segunda derivadas del polinomio cúbico.)
Luego
donde los simbolos y se interpretan como cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz cúbica, respectivamente. El signo " ± " antes de la raíz cuadrada es " + " o " - "; la elección es casi arbitraria y cambiarla equivale a elegir una raíz cuadrada diferente. Sin embargo, si una elección produce C = 0 , es decir, sientonces se debe seleccionar el otro signo en su lugar. Si ambas opciones dan C = 0 , es decir, si Una fracción 0/0ocurre en las siguientes fórmulas, que deben interpretarse como igual a cero (ver el final de esta sección). Entonces, una de las raíces es
Las otras dos raíces se pueden obtener cambiando la elección de la raíz cúbica en la definición de C , o, de manera equivalente, multiplicando C por una raíz cúbica primitiva de la unidad , es decir–1 ± √ –3/2. En otras palabras, las tres raíces son
donde ξ = –1 + √ –3/2.
En cuanto al caso especial de un cúbico deprimido, esta fórmula se aplica pero es inútil cuando las raíces se pueden expresar sin raíces cúbicas. En particular, si la fórmula da que las tres raíces son iguales lo que significa que el polinomio cúbico se puede factorizar como Un cálculo sencillo permite verificar que la existencia de esta factorización es equivalente a
Soluciones trigonométricas e hiperbólicas
Solución trigonométrica para tres raíces reales
Cuando una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces reales, las fórmulas que expresan estas raíces en términos de radicales involucran números complejos. La teoría de Galois permite probar que cuando las tres raíces son reales y ninguna es racional ( casus irreducibilis ), no se pueden expresar las raíces en términos de radicales reales. No obstante, se pueden obtener expresiones puramente reales de las soluciones utilizando funciones trigonométricas , específicamente en términos de cosenos y arcosenos . [24] Más precisamente, las raíces de la cúbica deprimida
son [25]
Esta fórmula se debe a François Viète . [22] Es puramente real cuando la ecuación tiene tres raíces reales (es decir). De lo contrario, sigue siendo correcto, pero involucra cosenos y arcosenos complejos cuando solo hay una raíz real, y no tiene sentido (división por cero) cuando p = 0) .
Esta fórmula se puede transformar directamente en una fórmula para las raíces de una ecuación cúbica general, utilizando la sustitución inversa descrita en § Cúbico deprimido . Se puede probar de la siguiente manera:
Partiendo de la ecuación t 3 + pt + q = 0 , establezcamos t = u cos θ . La idea es elegir u para hacer coincidir la ecuación con la identidad
Para esto, elija y divide la ecuación por Esto da
Combinando con la identidad anterior, uno obtiene
y las raíces son así
Solución hiperbólica para una raíz real
Cuando solo hay una raíz real (y p ≠ 0 ), esta raíz se puede representar de manera similar usando funciones hiperbólicas , como [26] [27]
Si p ≠ 0 y las desigualdades de la derecha no se satisfacen (el caso de tres raíces reales), las fórmulas siguen siendo válidas pero implican cantidades complejas.
Cuando p = ± 3 , los valores anteriores de t 0 a veces se denominan raíz cúbica de Chebyshev. [28] Más precisamente, los valores que involucran cosenos y cosenos hiperbólicos definen, cuando p = −3 , la misma función analítica denotada C 1/3 ( q ) , que es la raíz cúbica de Chebyshev propiamente dicha. El valor que involucra los senos hiperbólicos se denota de manera similar S 1/3 ( q ) , cuando p = 3 .
Soluciones geométricas
La solución de Omar Khayyám
Para resolver la ecuación cúbica x 3 + m 2 x = n donde n > 0 , Omar Khayyám construyó la parábola y = x 2 / m , el círculo que tiene como diámetro el segmento de recta [0, n / m 2 ] en el eje x positivo , y una línea vertical que pasa por el punto donde el círculo y la parábola se cruzan por encima del eje x . La solución está dada por la longitud del segmento de línea horizontal desde el origen hasta la intersección de la línea vertical y el eje x (ver la figura).
Una simple prueba moderna es la siguiente. Multiplicar la ecuación por x / m 2 y reagrupar los términos da
El lado izquierdo es el valor de y 2 en la parábola. La ecuación del círculo es y 2 + x ( x - norte/m 2) = 0 , el lado derecho es el valor de y 2 en el círculo.
Solución con trisector de ángulo
Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente usando un compás, una regla y un trisector de ángulo si y solo si tiene tres raíces reales. [29] : Thm. 1
Una ecuación cúbica puede resolverse mediante la construcción de compás y regla no graduada (sin trisector) si y solo si tiene una raíz racional . Esto implica que los viejos problemas de la trisección del ángulo y la duplicación del cubo , planteados por los antiguos matemáticos griegos , no pueden resolverse mediante la construcción de compás y regla.
Interpretación geométrica de las raíces
Tres verdaderas raíces
La expresión trigonométrica de Viète de las raíces en el caso de las tres raíces reales se presta a una interpretación geométrica en términos de un círculo. [22] [30] Cuando el cúbico se escribe en forma deprimida ( 2 ) , t 3 + pt + q = 0 , como se muestra arriba, la solución se puede expresar como
Aquí es un ángulo en el círculo unitario; tomando1/3de ese ángulo corresponde a sacar una raíz cúbica de un número complejo; sumando - k2 π/3para k = 1, 2 encuentra las otras raíces cúbicas; y multiplicar los cosenos de estos ángulos resultantes por corrige la escala.
Para el caso no deprimido ( 1 ) (mostrado en el gráfico adjunto), el caso deprimido como se indicó anteriormente se obtiene definiendo t tal que x = t - B/3 aentonces t = x + B/3 a. Gráficamente esto corresponde a simplemente desplazar el gráfico horizontalmente al cambiar entre las variables t y x , sin cambiar las relaciones de los ángulos. Este cambio mueve el punto de inflexión y el centro del círculo hacia el eje y . En consecuencia, las raíces de la ecuación en t suman cero.
Una raíz real
En el plano cartesiano
Cuando la gráfica de una función cúbica se traza en el plano cartesiano , si solo hay una raíz real, es la abscisa ( coordenada x ) de la intersección horizontal de la curva (punto R en la figura). Además, [31] [32] [33] si las raíces conjugadas complejas se escriben como g ± hi , entonces la parte real g es la abscisa del punto de tangencia H de la recta tangente a cúbica que pasa por la intersección con x R de el cúbico (que es la longitud con signo RM, negativo en la figura). Las partes imaginarias ± h son las raíces cuadradas de la tangente del ángulo entre esta línea tangente y el eje horizontal. [ aclaración necesaria ]
En el plano complejo
Con una raíz real y dos complejas, las tres raíces se pueden representar como puntos en el plano complejo, al igual que las dos raíces de la derivada cúbica. Existe una relación geométrica interesante entre todas estas raíces.
Los puntos en el plano complejo que representan las tres raíces sirven como vértices de un triángulo isósceles. (El triángulo es isósceles porque una raíz está en el eje horizontal (real) y las otras dos raíces, al ser conjugados complejos, aparecen simétricamente por encima y por debajo del eje real.) El teorema de Marden dice que los puntos que representan las raíces de la derivada de la cúbicos son los focos de la elipse de Steiner del triángulo, la elipse única que es tangente al triángulo en los puntos medios de sus lados. Si el ángulo en el vértice del eje real es menor queπ/3entonces el eje mayor de la elipse se encuentra sobre el eje real, al igual que sus focos y, por tanto, las raíces de la derivada. Si ese ángulo es mayor queπ/3, el eje mayor es vertical y sus focos, las raíces de la derivada, son conjugados complejos. Y si ese ángulo esπ/3, el triángulo es equilátero, el inelipse de Steiner es simplemente el incírculo del triángulo, sus focos coinciden entre sí en el incentro, que se encuentra en el eje real, y por lo tanto la derivada tiene raíces reales duplicadas.
Grupo Galois
Dado un polinomio cúbico irreducible sobre un campo k de característica diferente de 2 y 3, el grupo de Galois sobre k es el grupo de automorfismos de campo que fijan k de la extensión más pequeña de k ( campo de división ). Como estos automorfismos deben permutar las raíces de los polinomios, este grupo es el grupo S 3 de las seis permutaciones de las tres raíces, o el grupo A 3 de las tres permutaciones circulares.
El discriminante Δ del cúbico es el cuadrado de
donde a es el coeficiente principal del cúbico, y r 1 , r 2 y r 3 son las tres raíces del cúbico. Como cambios de signo si se intercambian dos raíces, lo fija el grupo de Galois solo si el grupo de Galois es A 3 . En otras palabras, el grupo de Galois es A 3 si y solo si el discriminante es el cuadrado de un elemento de k .
Como la mayoría de los enteros no son cuadrados, cuando se trabaja sobre el campo Q de los números racionales , el grupo de Galois de polinomios cúbicos más irreducibles es el grupo S 3 con seis elementos. Un ejemplo de un grupo A 3 de Galois con tres elementos viene dado por p ( x ) = x 3 - 3 x - 1 , cuyo discriminante es 81 = 9 2 .
Derivación de las raíces
Esta sección agrupa varios métodos para derivar la fórmula de Cardano .
El método de Cardano
Este método se debe a Scipione del Ferro y Tartaglia , pero lleva el nombre de Gerolamo Cardano, quien lo publicó por primera vez en su libro Ars Magna (1545).
Este método se aplica a un cúbico deprimido t 3 + pt + q = 0 . La idea es introducir dos variables u y v tales que u + v = t y sustituir esto en el cúbico deprimido, dando
En este punto Cardano impuso la condición 3 uv + p = 0 . Esto elimina el tercer término en la igualdad anterior, lo que lleva al sistema de ecuaciones
Conociendo la suma y el producto de u 3 y v 3 , se deduce que son las dos soluciones de la ecuación cuadrática
entonces
El discriminante de esta ecuación es , y asumiendo que es positivo, las soluciones reales a estas ecuaciones son (después de doblar la división por 4 bajo la raíz cuadrada):
Entonces (sin pérdida de generalidad al elegir u o v):
Como u + v = t , la suma de las raíces cúbicas de estas soluciones es una raíz de la ecuación. Es decir
es una raíz de la ecuación; esta es la fórmula de Cardano.
Esto funciona bien cuando pero si la raíz cuadrada que aparece en la fórmula no es real. Como un número complejo tiene tres raíces cúbicas, usar la fórmula de Cardano sin cuidado proporcionaría nueve raíces, mientras que una ecuación cúbica no puede tener más de tres raíces. Esto fue aclarado por primera vez por Rafael Bombelli en su libro L'Algebra (1572). La solución es utilizar el hecho de que uv = - p/3, eso es v = - p/3 u. Esto significa que solo se necesita calcular una raíz cúbica y conduce a la segunda fórmula dada en § La fórmula de Cardano .
Las otras raíces de la ecuación se pueden obtener cambiando la raíz cúbica o, de manera equivalente, multiplicando la raíz cúbica por cada una de las dos raíces cúbicas primitivas de la unidad , que son
Sustitución de Vieta
La sustitución de Vieta es un método introducido por François Viète (Vieta es su nombre en latín) en un texto publicado póstumamente en 1615, que proporciona directamente la segunda fórmula del método de § Cardano y evita el problema de calcular dos raíces cúbicas diferentes. [34]
A partir del cúbico deprimido t 3 + pt + q = 0 , la sustitución de Vieta es t = w - pag/3 semanas. [35]
La sustitución t = w - pag/3 semanas transforma el cúbico deprimido en
Multiplicando por w 3 , se obtiene una ecuación cuadrática en w 3 :
Dejar
sea cualquier raíz distinta de cero de esta ecuación cuadrática. Si w 1 , w 2 y w 3 son las tres raíces cúbicas de W , entonces las raíces del cúbico deprimido original son w 1 - pag/3 semanas 1, w 2 - pag/3 semanas 2y w 3 - pag/3 semanas 3. La otra raíz de la ecuación cuadrática esEsto implica que cambiar el signo de la raíz cuadrada intercambia w i y - pag/3 w ipara i = 1, 2, 3 , y por lo tanto no cambia las raíces. Este método solo falla cuando ambas raíces de la ecuación cuadrática son cero, es decir, cuando p = q = 0 , en cuyo caso la única raíz del cúbico deprimido es 0 .
El método de Lagrange
En su artículo Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("Pensamientos sobre la resolución algebraica de ecuaciones"), [36] Joseph Louis Lagrange introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de bajo grado de manera uniforme, con la esperanza de poder generalizar para grados superiores. Este método funciona bien para ecuaciones cúbicas y cuárticas , pero Lagrange no logró aplicarlo a una ecuación quíntica , porque requiere resolver un polinomio resolutivo de grado al menos seis. [37] [38] [39] Excepto que nadie tuvo éxito antes para resolver el problema, esta fue la primera indicación de la inexistencia de una fórmula algebraica para grados 5 y superiores. Esto se demostró más tarde y se denominó teorema de Abel-Ruffini . Sin embargo, los métodos modernos para resolver ecuaciones quínticas resolubles se basan principalmente en el método de Lagrange. [39]
En el caso de ecuaciones cúbicas, el método de Lagrange da la misma solución que el de Cardano. El método de Lagrange se puede aplicar directamente a la ecuación cúbica general ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , pero el cálculo es más simple con la ecuación cúbica deprimida, t 3 + pt + q = 0 .
La idea principal de Lagrange era trabajar con la transformada discreta de Fourier de las raíces en lugar de con las raíces mismas. Más precisamente, sea ξ una tercera raíz primitiva de la unidad , es decir, un número tal que ξ 3 = 1 y ξ 2 + ξ + 1 = 0 (cuando se trabaja en el espacio de números complejos , uno tienepero esta compleja interpretación no se utiliza aquí). Denotando x 0 , x 1 y x 2 las tres raíces de la ecuación cúbica a resolver, sea
ser la transformada discreta de Fourier de las raíces. Si se conocen s 0 , s 1 y s 2 , las raíces se pueden recuperar de ellos con la transformada de Fourier inversa que consiste en invertir esta transformación lineal; es decir,
Por las fórmulas de Vieta , se sabe que s 0 es cero en el caso de un cúbico deprimido, y - B/apara el cúbico general. Por lo tanto, solo es necesario calcular s 1 y s 2 . No son funciones simétricas de las raíces (intercambiando x 1 y x 2 intercambia también s 1 y s 2 ), pero algunas funciones simétricas simples de s 1 y s 2 también son simétricas en las raíces de la ecuación cúbica a resolver. Así, estas funciones simétricas se pueden expresar en términos de los coeficientes (conocidos) del cúbico original, y esto permite eventualmente expresar s i como raíces de un polinomio con coeficientes conocidos.
En el caso de una ecuación cúbica, P = s 1 s 2 y S = s 1 3 + s 2 3 son tales polinomios simétricos (ver más abajo). De ello se deduce que s 1 3 y s 2 3 son las dos raíces de la ecuación cuadrática z 2 - Sz + P 3 = 0 . Por tanto, la resolución de la ecuación puede terminarse exactamente como con el método de Cardano, con s 1 y s 2 en lugar de u y v .
En el caso del cúbico deprimido, se tiene x 0 = 1/3( S 1 + s 2 ) y s 1 s 2 = -3 p , mientras que en el método de Cardano hemos establecido x 0 = u + v y uv = - 1/3p . Así tenemos, hasta el intercambio de u y v , s 1 = 3 u y s 2 = 3 v . Es decir, en este caso, el método de Cardano y el método de Lagrange calculan exactamente lo mismo, hasta un factor de tres en las variables auxiliares, siendo la principal diferencia que el método de Lagrange explica por qué estas variables auxiliares aparecen en el problema.
Cálculo de S y P
Un cálculo sencillo usando las relaciones ξ 3 = 1 y ξ 2 + ξ + 1 = 0 da
Esto muestra que P y S son funciones simétricas de las raíces. Usando las identidades de Newton , es sencillo expresarlas en términos de las funciones simétricas elementales de las raíces, dando
con e 1 = 0 , e 2 = p y e 3 = - q en el caso de una cúbica deprimida, ye 1 = - B/a, e 2 = C/ay e 3 = - D/a, en el caso general.
Aplicaciones
Las ecuaciones cúbicas surgen en varios otros contextos.
En matemáticas
- La trisección de ángulos y la duplicación del cubo son dos problemas antiguos de geometría que se ha demostrado que no se pueden resolver mediante la construcción de regla y compás , porque equivalen a resolver una ecuación cúbica.
- El teorema de Marden establece que los focos de la inelipse de Steiner de cualquier triángulo se pueden encontrar usando la función cúbica cuyas raíces son las coordenadas en el plano complejo de los tres vértices del triángulo. Las raíces de la primera derivada de este cúbico son las coordenadas complejas de esos focos.
- El área de un heptágono regular se puede expresar en términos de las raíces de un cúbico. Además, las proporciones de la diagonal larga al lado, el lado a la diagonal corta y el negativo de la diagonal corta a la diagonal larga satisfacen una ecuación cúbica particular. Además, la relación de la inradio a la circunferencia circunscrita de un triángulo heptagonal es una de las soluciones de una ecuación cúbica. Los valores de las funciones trigonométricas de ángulos relacionados con Satisfacer ecuaciones cúbicas.
- Dado el coseno (u otra función trigonométrica) de un ángulo arbitrario, el coseno de un tercio de ese ángulo es una de las raíces de un cúbico.
- La solución de la ecuación cuártica general se basa en la solución de su resolutivo cúbico .
- Los valores propios de una matriz de 3 × 3 son las raíces de un polinomio cúbico que es el polinomio característico de la matriz.
- La ecuación característica de coeficientes constantes de tercer orden o ecuación diferencial lineal de Cauchy-Euler (coeficientes variables equidimensionales) o ecuación en diferencia es una ecuación cúbica.
- Los puntos de intersección de la curva de Bézier cúbica y la línea recta se pueden calcular utilizando la ecuación cúbica directa que representa la curva de Bézier.
- Los puntos críticos de una función cuártica se encuentran resolviendo una ecuación cúbica (el conjunto de la derivada es igual a cero).
- Los puntos de inflexión de una función quíntica son la solución de una ecuación cúbica (el segundo conjunto derivado es igual a cero).
En otras ciencias
- En química analítica , la ecuación de Charlot , que se puede usar para encontrar el pH de las soluciones tampón , se puede resolver usando una ecuación cúbica.
- En termodinámica , las ecuaciones de estado (que relacionan la presión, el volumen y la temperatura de una sustancia) son cúbicas en volumen.
- Las ecuaciones cinemáticas que involucran velocidades lineales de aceleración son cúbicas.
- La velocidad de las ondas sísmicas de Rayleigh es una solución de la ecuación cúbica de la onda de Rayleigh .
Notas
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Referencias
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Otras lecturas
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enlaces externos
- "Fórmula de Cardano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Historia de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas en el archivo MacTutor .
- 500 años de NO enseñar LA FÓRMULA CÚBICA. ¿Qué creen que no puedes manejar? - Video de YouTube de Mathologer sobre la historia de las ecuaciones cúbicas y la solución de Cardano, así como la solución de Ferrari a las ecuaciones cuárticas.