En matemáticas , el teorema de reversión de Lagrange da series o expansiones formales de series de potencia de ciertas funciones implícitamente definidas ; de hecho, de composiciones con tales funciones.
Deje que v sea una función de x y y en términos de otra función f tal que
Entonces, para cualquier función g , para y suficientemente pequeño :
Si g es la identidad, esto se convierte en
En 1770, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publicó su solución en serie de potencias de la ecuación implícita para v mencionada anteriormente. Sin embargo, su solución utilizó engorrosas expansiones de logaritmos en serie. [1] [2] En 1780, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) publicó una demostración más simple del teorema, que se basaba en relaciones entre derivadas parciales con respecto a la variable x y el parámetro y. [3] [4] [5] Charles Hermite (1822-1901) presentó la demostración más sencilla del teorema mediante el uso de la integración de contorno. [6] [7] [8]
El teorema de reversión de Lagrange se utiliza para obtener soluciones numéricas a la ecuación de Kepler .
Prueba simple
Empezamos escribiendo:
Escribiendo la función delta como una integral tenemos:
La integral sobre k entonces da y tenemos:
Reorganizar la suma y cancelar da el resultado:
Referencias
- ↑ Lagrange, Joseph Louis (1770) "Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin , vol. 24, páginas 251–326. (Disponible en línea en: [1] .)
- ↑ Lagrange, Joseph Louis, Oeuvres , [París, 1869], vol. 2, página 25; Vol. 3, páginas 3–73.
- ^ Laplace, Pierre Simon de (1777) "Mémoire sur l'usage du calcul aux différences partielles dans la théories des suites", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris, vol. , páginas 99–122.
- ↑ Laplace, Pierre Simon de, Oeuvres [París, 1843], vol. 9, páginas 313–335.
- ^ La prueba de Laplace se presenta en:
- Goursat, Édouard, Un curso de análisis matemático (traducido por ER Hedrick y O. Dunkel) [NY, NY: Dover, 1959], vol. I, páginas 404–405.
- ↑ Hermite, Charles (1865) "Sur quelques développements en série de fonctions de plusieurs variables", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences des Paris , vol. 60, páginas 1–26.
- ↑ Hermite, Charles, Oeuvres [París, 1908], vol. 2, páginas 319–346.
- ^ La prueba de Hermite se presenta en:
- Goursat, Édouard, Un curso de análisis matemático (traducido por ER Hedrick y O. Dunkel) [NY, NY: Dover, 1959], vol. II, Parte 1, páginas 106–107.
- ET Whittaker y GN Watson , Un curso de análisis moderno , 4ª ed. [Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1962] páginas 132-133.
enlaces externos
- Teorema de inversión [reversión] de Lagrange en MathWorld
- Expansión de Cornish-Fisher , una aplicación del teorema
- El artículo sobre la ecuación del tiempo contiene una aplicación a la ecuación de Kepler.