avión clásico de Minkowski: modelo 2d / 3d
Aplicando la distancia pseudoeuclidiana en dos puntos (en lugar de la distancia euclidiana) obtenemos la geometría de hipérbolas , porque un círculo pseudoeuclidianoes una hipérbola con punto medio.
Por una transformación de coordenadas , , la distancia pseudo-euclidiana se puede reescribir como . Las hipérbolas tienen asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas no primarios.
La siguiente terminación (ver planos de Möbius y Laguerre) homogeneiza la geometría de las hipérbolas:
- , el conjunto de puntos ,
- el conjunto de ciclos .
La estructura de incidencia se llama el plano real clásico de Minkowski .
El conjunto de puntos consta de , dos copias de y el punto .
Cualquier linea se completa por punto , cualquier hipérbola por los dos puntos (ver figura).
Dos puntos no se puede conectar mediante un ciclo si y solo si o .
Definimos: Dos puntos son (+) - paralelo () Si y (-) - paralelo () Si .
Ambas relaciones son relaciones de equivalencia en el conjunto de puntos.
Dos puntos son llamados paralelo () Si o .
De la definición anterior encontramos:
Lema:
- Para cualquier par de puntos no paralelos hay exactamente un punto con .
- Por cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente dos puntos con .
- Por tres puntos cualesquiera , , , por pares no paralelo, hay exactamente un ciclo eso contiene .
- Para cualquier ciclo , Cualquier punto y cualquier punto y existe exactamente un ciclo tal que , es decir toca en el punto P.
Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de las secciones planas de un cuadrante adecuado. Pero en este caso, el cuádrico vive en el 3-espacio proyectivo : el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide de una hoja (no el cuádruple degenerado del índice 2).
Dejar ser una estructura de incidencia con el conjunto de puntos, el conjunto de ciclos y dos relaciones de equivalencia ((+) - paralelo) y ((-) - paralelo) en el set . Para definimos: y . Una clase de equivalencia o se llama (+) - generador y (-) - generador , respectivamente. (Para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea en el hiperboloide).
Dos puntosson llamados paralelo () Si o .
Una estructura de incidencia se llama plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas:
Axiomas-de-Minkowski-c1-c2
Axiomas-de-Minkowski-c3-c4
- C1 : para cualquier par de puntos no paralelos hay exactamente un punto con .
- C2 : Para cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente dos puntos con .
- C3 : para tres puntos cualesquiera, por pares no paralelo, hay exactamente un ciclo que contiene .
- C4 : para cualquier ciclo, Cualquier punto y cualquier punto y existe exactamente un ciclo tal que , es decir toca en el punto .
- C5 : Cualquier ciclo contiene al menos 3 puntos. Hay al menos un ciclo y un punto no en .
Para las investigaciones, las siguientes declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1, C2 respectivamente) son ventajosas.
- C1 ′ : para dos puntos cualesquiera tenemos .
- C2 ′ : Para cualquier punto y cualquier ciclo tenemos: .
Las primeras consecuencias de los axiomas son
Lema: para un avión de Minkowski lo siguiente es cierto
- a) Cualquier punto está contenido en al menos un ciclo.
- b) Cualquier generador contiene al menos 3 puntos.
- c) Se pueden conectar dos puntos mediante un ciclo si y solo si no son paralelos.
De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, obtenemos la conexión con la geometría lineal a través de los residuos.
Para un avión de Minkowski y definimos la estructura local
y llamarlo el residuo en el punto P .
Para el avión clásico de Minkowski es el verdadero plano afín .
Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1 ′, C2 ′ son los dos teoremas siguientes.
Teorema : para un avión de Minkowski cualquier residuo es un plano afín.
Teorema : Sea una estructura de incidencia con dos relaciones de equivalencia y En el set de puntos (ver arriba).
- es un plano de Minkowski si y solo si para cualquier punto el residuo es un plano afín.
Modelo mínimo
Avión de Minkowski: modelo minimalista
El modelo mínimo de un avión de Minkowski se puede establecer sobre el conjunto. de tres elementos:
Puntos paralelos:
si y solo si
si y solo si .
Por eso: y .
Planos finitos de Minkowski
Para planos finitos de Minkowski obtenemos de C1 ′, C2 ′:
Lema : Sea un plano finito de Minkowski, es decir . Para cualquier par de ciclos y cualquier par de generadores tenemos: .
Esto da lugar a la definición :
para un plano finito de Minkowski y un ciclo de llamamos al entero el orden de.
Las consideraciones combinatorias simples producen
Lema : para un plano de Minkowski finito lo siguiente es cierto:
- a) Cualquier residuo (plano afín) tiene orden .
- B) ,
- C) .
Obtenemos los ejemplos más importantes de planos de Minkowski generalizando el modelo real clásico: simplemente reemplace por un campo arbitrario entonces obtenemos en cualquier caso un avión de Minkowski.
De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, el Teorema de Miquel es una propiedad característica de un plano de Minkowski .
Teorema (Miquel): Para el plano de Minkowski lo siguiente es cierto:
- Si para cualquiera de los 8 puntos no paralelos por pares que se puede asignar a los vértices de un cubo de modo que los puntos en 5 caras correspondan a cuádruples concíclicos que el sexto cuádruple de puntos también es concíclico.
(Para una mejor descripción de la figura, hay círculos dibujados en lugar de hipérbolas).
Teorema (Chen): solo un plano de Minkowski satisface el teorema de Miquel.
Debido al último teorema se llama avión miqueliano Minkowski .
Observación: El modelo mínimo de un avión de Minkowski es miqueliano.
- Es isomorfo al plano de Minkowski. con (campo ).
Un resultado asombroso es
Teorema (Heise): Cualquier plano de Minkowski de orden par es miqueliano.
Observación: Una proyección estereográfica adecuada muestra:es isomorfo a la geometría de las secciones planas en un hiperboloide de una hoja ( cuadrático del índice 2) en 3 espacios proyectivos sobre el campo.
Observación: Hay muchos aviones Minkowski que no son michelianos ( véase el enlace web a continuación). Pero no hay planos "ovoidales de Minkowski", a diferencia de los planos de Möbius y Laguerre. Porque cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio proyectivo 3 es un cuadrático (ver conjunto cuadrático ).