En matemáticas , un avión Benz es un tipo de estructura geométrica bidimensional , que lleva el nombre del matemático alemán Walter Benz . El término se aplicó a un grupo de objetos que surgen de una axiomatización común de ciertas estructuras y se dividen en tres familias, que se introdujeron por separado: planos de Möbius , planos de Laguerre y planos de Minkowski . [1] [2]
Avión de moebius
Comenzar desde el plano euclidiano real y fusionar el conjunto de líneas con el conjunto de círculos para formar un conjunto de bloques da como resultado una estructura de incidencia no homogénea : tres puntos distintos determinan un bloque, pero las líneas se distinguen como un conjunto de bloques que se cruzan mutuamente por pares. en un punto sin ser tangente (o sin puntos cuando es paralelo). Añadiendo al punto, establezca el nuevo punto, definido para estar en cada línea da como resultado que cada bloque esté determinado por exactamente tres puntos, así como la intersección de dos bloques cualesquiera siguiendo un patrón uniforme (que se intersecan en dos puntos, tangentes o no). Esta geometría homogénea se llama geometría inversa clásica o plano de Möbius. Se puede ver que la falta de homogeneidad de la descripción (líneas, círculos, nuevo punto) no es sustantiva mediante el uso de un modelo tridimensional. Usando una proyección estereográfica , se puede ver que el plano clásico de Möbius es isomórfico a la geometría de las secciones planas (círculos) en una esfera en el espacio tridimensional euclidiano.
De manera análoga al plano proyectivo (axiomático) , un plano de Möbius (axiomático) define una estructura de incidencia. Los planos de Möbius se pueden construir de manera similar sobre campos distintos de los números reales.
Avión de Laguerre
Empezando de nuevo desde y tomando las curvas con ecuaciones (parábolas y líneas) como bloques, la siguiente homogeneización es efectiva: Agregar a la curva el nuevo punto . Por tanto, el conjunto de puntos es. Esta geometría de parábolas se denomina plano de Laguerre clásico (originalmente se diseñó como la geometría de las líneas y círculos orientados. Ambas geometrías son isomorfas).
En cuanto al plano de Möbius, existe un modelo tridimensional: la geometría de las secciones del plano elíptico en un cilindro ortogonal (en ). Una abstracción conduce (análogamente al plano de Möbius) al plano axiomático de Laguerre.
Avión de Minkowski
Empezando desde y fusionando las lineas con las hipérbolas Para obtener el conjunto de bloques, la siguiente idea homogeneiza la estructura de incidencia: Agregue a cualquier línea el punto y a cualquier hipérbola los dos puntos . Por tanto, el conjunto de puntos es. Esta geometría de las hipérbolas se denomina plano clásico de Minkowski.
De forma análoga a los planos clásicos de Möbius y Laguerre, existe un modelo tridimensional: el plano clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide de una hoja (cuadrático no degenerado de índice 2) en el espacio proyectivo tridimensional. Al igual que en los dos primeros casos, obtenemos el plano (axiomático) de Minkowski.
Geometrías circulares planas o planos Benz
Debido al papel esencial del círculo (considerado como la cónica no degenerada en un plano proyectivo ) y la descripción del plano de los modelos originales, los tres tipos de geometrías se subsumen a las geometrías de círculo plano o en honor a Walter Benz, quien consideró estos Estructuras geométricas desde un punto de vista común, planos Benz.
Ver también
Referencias
- Francis Buekenhout (1981) "Les Plans de Benz", Journal of Geometry 17 (1): 61–8.
enlaces externos
- Avión Benz de la Enciclopedia de Matemáticas
- Erich Hartmann Planar Circle Geometries, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski de la Universidad Tecnológica de Darmstadt