En matemáticas, una función de Lamé , o función armónica elipsoidal , es una solución de la ecuación de Lamé , una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden . Se introdujo en el periódico ( Gabriel Lamé 1837 ). La ecuación de Lamé aparece en el método de separación de variables aplicado a la ecuación de Laplace en coordenadas elípticas . En algunos casos especiales, las soluciones se pueden expresar en términos de polinomios llamados polinomios de Lamé .
La ecuación de Lamé
La ecuación de Lamé es
donde A y B son constantes, yes la función elíptica de Weierstrass . El caso más importante es cuando, dónde es la función seno elíptica , ypara un entero n yel módulo elíptico, en cuyo caso las soluciones se extienden a funciones meromórficas definidas en todo el plano complejo. Para otros valores de B, las soluciones tienen puntos de ramificación .
Cambiando la variable independiente a con , La ecuación de Lamé también se puede reescribir en forma algebraica como
que después de un cambio de variable se convierte en un caso especial de la ecuación de Heun .
Una forma más general de la ecuación de Lamé es la ecuación elipsoidal o ecuación de onda elipsoidal que se puede escribir (observe que ahora escribimos, no como anteriormente)
dónde es el módulo elíptico de las funciones elípticas jacobianas y y son constantes. Para la ecuación se convierte en la ecuación de Lamé con . Parala ecuación se reduce a la ecuación de Mathieu
La forma weierstrassiana de la ecuación de Lamé es bastante inadecuada para el cálculo (como también observa Arscott, p. 191). La forma más adecuada de la ecuación es la forma jacobiana, como arriba. Las formas algebraica y trigonométrica también son engorrosas de usar. Las ecuaciones de Lamé surgen en la mecánica cuántica como ecuaciones de pequeñas fluctuaciones sobre soluciones clásicas, llamadas instantones , rebotes o burbujas periódicos , de ecuaciones de Schrödinger para varios potenciales periódicos y anarmónicos. [1] [2]
Expansiones asintóticas
Expansiones asintóticas de funciones de onda elipsoidales periódicas, y con ellas también de funciones de Lamé, para grandes valores de han sido obtenidos por Müller. [3] [4] [5] La expansión asintótica obtenida por él para los valores propios Es con aproximadamente un entero impar (y que se determinará con mayor precisión por las condiciones de contorno, ver más abajo),
(Otro (quinto) término no dado aquí ha sido calculado por Müller, los primeros tres términos también han sido obtenidos por Ince [6] ). Los términos de observación son alternativamente pares e impares en y (como en los cálculos correspondientes para funciones de Mathieu y funciones de onda esferoidales oblatas y funciones de onda esferoidal prolongada ). Con las siguientes condiciones de contorno (en las que es el cuarto de período dado por una integral elíptica completa)
así como (el derivado del significado principal )
definiendo respectivamente las funciones de onda elipsoidal
de periodos y para Se obtiene
Aquí el signo superior se refiere a las soluciones. y el menor a las soluciones . Finalmente expandiéndose acerca de Se obtiene
En el límite de la ecuación de Mathieu (al que se puede reducir la ecuación de Lamé) estas expresiones se reducen a las expresiones correspondientes del caso de Mathieu (como lo muestra Müller).
Notas
- ^ HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: Ecuación de Schrödinger y ruta integral , 2ª ed. World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5
- ^ Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). "Solitones, rebotes y sphalerons en círculo". Physics Letters B . Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. doi : 10.1016 / 0370-2693 (92) 90486-n . ISSN 0370-2693 .
- ^ W. Müller, Harald J. (1966). "Expansiones asintóticas de funciones de onda elipsoidal y sus números característicos". Mathematische Nachrichten (en alemán). Wiley. 31 (1–2): 89–101. doi : 10.1002 / mana.19660310108 . ISSN 0025-584X .
- ^ Müller, Harald JW (1966). "Expansiones asintóticas de funciones de onda elipsoidal en términos de funciones de Hermite". Mathematische Nachrichten (en alemán). Wiley. 32 (1–2): 49–62. doi : 10.1002 / mana.19660320106 . ISSN 0025-584X .
- ^ Müller, Harald JW (1966). "Sobre expansiones asintóticas de funciones de onda elipsoidal". Mathematische Nachrichten (en alemán). Wiley. 32 (3-4): 157-172. doi : 10.1002 / mana.19660320305 . ISSN 0025-584X .
- ^ Ince, EL (1940). "VII. Nuevas investigaciones sobre las funciones periódicas de Lamé". Actas de la Royal Society of Edinburgh . Cambridge University Press (CUP). 60 (1): 83–99. doi : 10.1017 / s0370164600020071 . ISSN 0370-1646 .
Referencias
- Arscott, FM (1964), Ecuaciones diferenciales periódicas , Oxford: Pergamon Press , págs. 191-236.
- Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Funciones trascendentales superiores (PDF) , Proyecto Manuscrito Bateman, Vol. III, Nueva York – Toronto – Londres: McGraw-Hill , págs. XVII + 292, MR 0066496 , Zbl 0064.06302
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ). - Lamé, G. (1837), "Sur les surface isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température" , Journal de mathématiques pures et appliquées , 2 : 147-188. Disponible en Gallica .
- Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Lamé" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Función Lamé" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Volkmer, H. (2010), "Lamé function" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Müller-Kirsten, Harald JW (2012), Introducción a la Mecánica Cuántica: Ecuación de Schrödinger y Ruta Integral, 2da ed. , Científico mundial