En geometría diferencial hay una serie de operadores diferenciales elípticos lineales de segundo orden que llevan el nombre de Laplaciano . Este artículo proporciona una descripción general de algunos de ellos.
Conexión Laplaciana
La conexión laplaciana , también conocida como laplaciana aproximada , es un operador diferencial que actúa sobre los diversos haces de tensores de una variedad, definida en términos de una métrica riemanniana o pseudo-riemanniana . Cuando se aplica a funciones (es decir, tensores de rango 0), la conexión laplaciana a menudo se denomina operador de Laplace-Beltrami . Se define como la traza de la segunda derivada covariante :
donde T es cualquier tensor,es la conexión Levi-Civita asociada a la métrica, y la traza se toma con respecto a la métrica. Recuerde que la segunda derivada covariante de T se define como
Tenga en cuenta que con esta definición, la conexión Laplaciano tiene espectro negativo . En funciones, concuerda con el operador dado como la divergencia del gradiente.
Si la conexión de interés es la conexión Levi-Civita, se puede encontrar una fórmula conveniente para el laplaciano de una función escalar en términos de derivadas parciales con respecto a un sistema de coordenadas:
dónde es una función escalar, es el valor absoluto del determinante de la métrica (el valor absoluto es necesario en el caso pseudo-riemanniano , por ejemplo, en la relatividad general ) ydenota el inverso del tensor métrico .
Hodge Laplaciano
El Hodge Laplacian , también conocido como el operador de Laplace-de Rham , es un operador diferencial que actúa sobre formas diferenciales . (En abstracto, es un operador de segundo orden en cada potencia exterior del paquete cotangente ). Este operador se define en cualquier variedad equipada con una métrica riemanniana o pseudo-riemanniana .
donde d es la derivada o diferencial exterior y δ es la codiferencial . El Hodge Laplacian en un colector compacto tiene espectro no negativo .
La conexión Laplaciana también puede tomarse para actuar sobre formas diferenciales restringiéndola para actuar sobre tensores simétricos sesgados. La conexión Laplacian se diferencia del Hodge Laplacian por medio de una identidad Weitzenböck .
Bochner Laplaciano
El Bochner Laplacian se define de manera diferente a la conexión Laplacian, pero los dos resultarán diferir solo por un signo, siempre que se defina el primero. Sea M un colector orientado compacto equipado con una métrica. Sea E un paquete vectorial sobre M equipado con una métrica de fibra y una conexión compatible,. Esta conexión da lugar a un operador diferencial
dónde denota suavizan secciones de E y T * M es el fibrado cotangente de M . Es posible tomar el-adjunto de , dando un operador diferencial
El Bochner Laplaciano está dado por
que es un segundo operador para actuar sobre secciones del fibrado vectorial E . Tenga en cuenta que la conexión Laplacian y Bochner Laplacian difieren solo por un signo:
Lichnerowicz Laplacian
El Lichnerowicz Laplacian [1] se define en tensores simétricos tomandopara ser la derivada covariante simétrica. El Lichnerowicz Laplacian se define entonces por, dónde es el adjunto formal. El laplaciano de Lichnerowicz se diferencia del tensor laplaciano habitual por una fórmula de Weitzenbock que incluye el tensor de curvatura de Riemann y tiene aplicaciones naturales en el estudio del flujo de Ricci y el problema de curvatura de Ricci prescrito .
Laplaciano conformal
En una variedad de Riemann , se puede definir al Laplaciano conforme como un operador de funciones suaves; se diferencia del operador de Laplace-Beltrami por un término que involucra la curvatura escalar de la métrica subyacente. En la dimensión n ≥ 3, el laplaciano conforme, denotado L , actúa sobre una función suave u por
donde Δ es el operador de Laplace-Beltrami (de espectro negativo) y R es la curvatura escalar. Este operador a menudo aparece cuando se estudia cómo se comporta la curvatura escalar bajo un cambio conforme de una métrica de Riemann. Si n ≥ 3 yg es una métrica yu es una función positiva suave, entonces la métrica conforme
tiene una curvatura escalar dada por
Ver también
Referencias
- ^ Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006), Hamilton's Ricci flow , Estudios de posgrado en matemáticas , 77 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4231-7, Señor 2274812 , ISBN 978-0-8218-4231-7