En matemáticas , en particular en geometría diferencial , física matemática y teoría de la representación, una identidad de Weitzenböck , llamada así por Roland Weitzenböck , expresa una relación entre dos operadores elípticos de segundo orden en una variedad con el mismo símbolo principal. (Los orígenes de esta terminología parecen dudosos, sin embargo, ya que no parece haber ninguna evidencia de que tales identidades aparecieran alguna vez en el trabajo de Weitzenböck.) Por lo general, las fórmulas de Weitzenböck se implementan para operadores autoadjuntos G -invariantes entre paquetes de vectores asociados a algunos principales GRAMO- paquete , aunque las condiciones precisas bajo las cuales existe tal fórmula son difíciles de formular. Este artículo se centra en tres ejemplos de identidades de Weitzenböck: de la geometría de Riemann, la geometría de espín y el análisis complejo.
Geometría riemanniana
En la geometría de Riemann hay dos nociones de la Laplaciano en formas diferenciales más de una variedad de Riemann compacta orientada M . La primera definición utiliza el operador de divergencia δ definido como el adjunto formal del operador de Rham d :
donde α es cualquier forma p y β es cualquier forma ( p + 1 ), yes la métrica inducida en el conjunto de formas ( p + 1 ). La forma habitual laplaciana viene dada por
Por otro lado, la conexión Levi-Civita proporciona un operador diferencial
donde Ω p M es el conjunto de formas p . El Bochner Laplaciano está dado por
dónde es el adjunto de .
La fórmula de Weitzenböck afirma entonces que
donde A es un operador lineal de orden cero que involucra solo la curvatura.
La forma precisa de A viene dada, hasta un signo general que depende de las convenciones de curvatura, por
dónde
- R es el tensor de curvatura de Riemann,
- Ric es el tensor de Ricci,
- es el mapa que toma el producto de cuña de una forma 1 y una forma p y da una forma ( p +1),
- es la derivación universal inversa a θ en formas 1.
Geometría de giro
Si M es una variedad de espín orientado con el operador de Dirac ð, entonces se puede formar el espín Laplaciano Δ = ð 2 en el haz de espines. Por otro lado, la conexión Levi-Civita se extiende al paquete de centrifugado para producir un operador diferencial
Como en el caso de las variedades de Riemann, dejemos . Este es otro operador autoadjunto y, además, tiene el mismo símbolo inicial que el spin Laplaciano. La fórmula de Weitzenböck produce:
donde Sc es la curvatura escalar. Este resultado también se conoce como fórmula de Lichnerowicz .
Geometría diferencial compleja
Si M es un colector compacto de Kähler , existe una fórmula de Weitzenböck que relaciona-Laplaciano (ver complejo Dolbeault ) y el Laplaciano euclidiano en ( p , q ) -formas . Específicamente, deje
- , y
- en un marco unitario en cada punto.
Según la fórmula de Weitzenböck, si , luego
dónde es un operador de orden cero que involucra la curvatura. Específicamente,
- Si en un marco unitario, entonces
- con k en los s -ésimos lugar.
Otras identidades de Weitzenböck
- En geometría conforme hay una fórmula de Weitzenböck que relaciona un par particular de operadores diferenciales definidos en el haz del tractor . Véase Branson, T. y Gover, AR, "Operadores conformalmente invariantes, formas diferenciales, cohomología y una generalización de la curvatura Q", Comunicaciones en ecuaciones diferenciales parciales , 30 (2005) 1611-1669.
Ver también
Referencias
- Griffiths, Philip ; Harris, Joe (1978), Principios de geometría algebraica , Wiley-Interscience (publicado en 1994), ISBN 978-0-471-05059-9