En geometría y cristalografía , el gráfico de Laves es un gráfico simétrico cúbico infinito . Se puede incrustar en un espacio tridimensional , con coordenadas enteras, para formar una estructura con simetría quiral [1] en la que las tres aristas de cada vértice forman ángulos de 120 ° entre sí. También se puede definir de manera más abstracta como un gráfico de cobertura del gráfico completo en cuatro vértices. [1] [2]
HSM Coxeter ( 1955 ) nombró este gráfico en honor a Fritz Laves , quien escribió por primera vez sobre él como una estructura cristalina en 1932. [3] [4] También se le ha llamado el cristal K 4 , [5] (10,3) -a red , [6] [7] diamante gemelo , [8] triamante , [9] [10] y la red srs . [11]
Construcciones
De la cuadrícula de enteros
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Como describe Coxeter (1955) , los vértices del gráfico de Laves se pueden definir seleccionando uno de cada ocho puntos en el retículo de enteros tridimensionales y formando su gráfico vecino más cercano . Específicamente, uno elige los puntos
y todos los demás puntos que se pueden formar sumando múltiplos de cuatro a estas coordenadas. Los bordes del gráfico de Laves conectan pares de puntos cuya distancia euclidiana entre sí es la raíz cuadrada de dos ,(estos pares difieren en una unidad en dos coordenadas y son iguales en la tercera coordenada). Los otros pares de vértices no adyacentes están más separados, a una distancia de al menosde cada uno. Los bordes del gráfico geométrico resultante son diagonales de un subconjunto de las caras del poliedro sesgado regular con seis caras cuadradas por vértice, por lo que el gráfico de Laves está incrustado en este poliedro sesgado. [3]
Es posible intercalar dos copias de la estructura, llenando un cuarto de los puntos de la celosía entera, preservando el hecho de que los vértices adyacentes son exactamente los pares de puntos que son unidades separadas, y todos los demás pares de puntos están más separados. Las dos copias son imágenes especulares una de la otra. [6] [11]
Como gráfico de cobertura
Como gráfico abstracto, el gráfico de Laves se puede construir como el gráfico de cobertura abeliano máximo del gráfico completo. . Siendo un gráfico de cobertura designifica que hay un subgrupo matemático de simetrías del gráfico de Laves de modo que, cuando los vértices que son simétricos entre sí en este subgrupo se agrupan en las órbitas del subgrupo, hay cuatro órbitas y cada par de órbitas está conectado por aristas del gráfico entre sí. Es decir, el gráfico cuyos vértices son órbitas y cuyos bordes son pares de órbitas adyacentes es exactamente. Ser un gráfico de cobertura abeliano significa que este subgrupo de simetrías es un grupo abeliano (en este caso, el grupoformado por la suma de vectores enteros tridimensionales ), y ser un gráfico de cobertura abeliano máximo significa que no hay otro gráfico de cobertura deque involucra a un grupo abeliano de dimensiones superiores. Esta construcción justifica uno de los nombres alternativos del gráfico de Laves, elcristal. [1]
Una forma de construir un gráfico de cobertura abeliano máximo a partir de un gráfico más pequeño (en este caso ) es elegir un árbol de expansión de, dejar ser el número de aristas que no están en el árbol de expansión (en este caso, tres aristas que no son de árbol), y elegir un vector unitario distinto enpara cada uno de estos bordes que no son árboles. Luego, fije el conjunto de vértices del gráfico de cobertura para que sean los pares ordenados dónde es un vértice de y es un vector en . Para cada uno de esos pares, y cada borde adyacente a en , hacer una ventaja de a dónde es cero si pertenece al árbol de expansión y, de lo contrario, es el vector base asociado con , y donde se elige el signo más o menos de acuerdo con la dirección en que se atraviesa el borde. El gráfico resultante es independiente de la elección del árbol de expansión, y la misma construcción también se puede interpretar de manera más abstracta utilizando la teoría de la homología . [2]
Usando la misma construcción, el mosaico hexagonal del plano es el gráfico de cobertura abeliana máxima del gráfico de dipolo de tres bordes , y el diamante cúbico es el gráfico de cobertura abeliana máxima del dipolo de cuatro bordes. La-La celosía de enteros dimensionales (con aristas de longitud unitaria) es el gráfico de cobertura abeliano máximo de un gráfico con un vértice y auto-bucles . [1]
Propiedades
La gráfica de Laves es una gráfica cúbica (hay exactamente tres aristas en cada vértice) y una gráfica simétrica (cada par incidente de un vértice y una arista se puede transformar en cualquier otro par mediante una simetría del gráfico). La circunferencia de esta estructura es 10 (los ciclos más cortos del gráfico tienen 10 vértices) y 15 de estos ciclos pasan por cada vértice. [1] [3] [11]
Las celdas del diagrama de Voronoi de esta estructura son heptadecaedros con 17 caras cada una. Son plesioedros , poliedros que enlosan el espacio de forma isoédrica . Experimentar con las estructuras formadas por estos poliedros llevó a Alan Schoen a descubrir la superficie mínima del giroide . [12]
Uno de los cuatro subgrafos inducidos cúbicos del gráfico de distancia unitaria en el entramado de enteros tridimensionales que tiene una circunferencia de 10 es isomorfo al gráfico de Laves. [13]
Ejemplos físicos
Cristales moleculares
Los cálculos sugieren que el gráfico de Laves puede servir como patrón para un alótropo de carbono metaestable o quizás inestable . [5] [8] Al igual que el grafito , cada átomo de la estructura está unido a otros tres, pero en el grafito los átomos adyacentes tienen los mismos planos de enlace, mientras que en esta estructura los planos de enlace de los átomos adyacentes están retorcidos entre sí. alrededor de la línea formada por la unión, con un ángulo de torsión de aproximadamente 70,5 °.
El gráfico de Laves también puede dar una estructura cristalina para el boro ; los cálculos predicen que esto debería ser estable. [14] Otras sustancias químicas que pueden formar esta estructura incluyen SrSi 2 y nitrógeno elemental . [11] [14]
Otro
La estructura del gráfico de Laves y de las superficies de los giroscopios derivadas de él también se ha observado experimentalmente en sistemas de agua y jabón y en las redes de quitina de las escamas de las alas de las mariposas . [11]
Referencias
- ^ a b c d e Sunada, Toshikazu (2008), "Cristales que la naturaleza podría no crear" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 55 (2): 208-215, MR 2375022. Sunada, Toshikazu (2008), "Corrección: Cristales que la naturaleza podría no crear" (PDF) , Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 55 (3): 343.
- ^ a b Biggs, NL (1984), "Coberturas homológicas de gráficos", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , Segunda serie, 30 (1): 1-14, doi : 10.1112 / jlms / s2-30.1.1 , MR 0760867.
- ^ a b c Coxeter, HSM (1955), "En el gráfico de circunferencia diez de Laves", Canadian Journal of Mathematics , 7 : 18-23, doi : 10.4153 / CJM-1955-003-7 , MR 0067508.
- ^ Laves, F. (1932), "Zur Klassifikation der Silikate geométrica Untersuchungen möglicher Silicium-Sauerstoff-Verbände ALS Verknüpfungsmöglichkeiten regulärer Tetraeder.", Zeitschrift für Kristallographie , 82 (1): 1-14, doi : 10.1524 / zkri.1932.82.1.1.
- ^ a b Itoh, Masahiro; Kotani, Motoko; Naito, Hisashi; Sunada, Toshikazu ; Kawazoe, Yoshiyuki; Adschiri, Tadafumi (2009), "New metallic carbon crystal", Physical Review Letters , 102 (5): 055703, Bibcode : 2009PhRvL.102e5703I , doi : 10.1103 / PhysRevLett.102.055703 , PMID 19257523.
- ^ a b Hart, George W. , The (10, 3) -a Network , consultado el 30 de noviembre de 2014.
- ^ Wells, AF (1940), "X. Complejos finitos en cristales: una clasificación y revisión", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science , Serie 7, 30 (199): 103-134, doi : 10.1080 / 14786444008520702.
- ^ a b Tagami, Makoto; Liang, Yunye; Naito, Hisashi; Kawazoe, Yoshiyuki; Kotani, Motoko (2014), "Cristales de carbono cúbicos curvados negativamente con simetría octaédrica", Carbon , 76 : 266–274, doi : 10.1016 / j.carbon.2014.04.077.
- ^ Lanier, Jaron (2009), "De patrones planos a politopos" , American Scientist.
- ^ Séquin, Carlo H. (2008), "Intrincados mosaicos isoédricos del espacio euclidiano 3D" , en Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H. (eds.), Bridges Leeuwarden: Matemáticas, Música, Arte, Arquitectura, Cultura , Londres: Publicaciones Tarquin, págs. 139-148, ISBN 9780966520194.
- ^ a b c d e Hyde, Stephen T .; O'Keeffe, Michael; Proserpio, Davide M. (2008), "Una breve historia de una estructura elusiva pero ubicua en química, materiales y matemáticas" (PDF) , Angewandte Chemie International Edition , 47 (42): 7996–8000, doi : 10.1002 / anie .200801519 , PMID 18767088.
- ^ Schoen, Alan H. (junio-julio de 2008), "On the graph (10,3) -a" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (6): 663.
- ^ Haugland, Jan Kristian (2003), "Clasificación de ciertos subgrafos de la cuadrícula tridimensional", Journal of Graph Theory , 42 : 34–60, doi : 10.1002 / jgt.10071.
- ^ a b Dai, Jun; Li, Zhenyu; Yang, Jinlong (2010), "Boron K 4 crystal: a estable quiral tridimensional sp 2 network", Physical Chemistry Chemical Physics , 12 (39): 12420-12422, Bibcode : 2010PCCP ... 1212420D , doi : 10.1039 / C0CP00735H , PMID 20820588.
enlaces externos
- Baez, John (14 de octubre de 2016), "Laves Graph" , Visual Insight , American Mathematical Society