En matemáticas , las constantes de Lebesgue (dependiendo de un conjunto de nodos y de su tamaño) dan una idea de qué tan bueno es el interpolante de una función (en los nodos dados) en comparación con la mejor aproximación polinomial de la función (el grado de los polinomios son obviamente fijos). La constante de Lebesgue para polinomios de grado como máximo n y para el conjunto de n + 1 nodos T generalmente se denota por Λ n ( T ) . Estas constantes llevan el nombre de Henri Lebesgue .
Definición
Arreglamos los nodos de interpolación. y un intervalo que contiene todos los nodos de interpolación. El proceso de interpolación mapea la función a un polinomio . Esto define un mapeodesde el espacio C ([ a , b ]) de todas las funciones continuas en [ a , b ] a sí mismo. El mapa X es lineal y es una proyección sobre el subespacio Π n de polinomios de grado n o menos.
La constante de Lebesgue se define como la norma operador de X . Esta definición requiere que especifiquemos una norma sobre C ([ a , b ]). La norma uniforme suele ser la más conveniente.
Propiedades
La constante de Lebesgue limita el error de interpolación: sea p ∗ la mejor aproximación de f entre los polinomios de grado n o menos. En otras palabras, p ∗ minimiza || p - f || entre todos los p en Π n . Luego
Aquí probaremos esta afirmación con la máxima norma.
por la desigualdad del triángulo . Pero X es una proyección en Π n , entonces
- p ∗ - X ( f ) = X ( p ∗ ) - X ( f ) = X ( p ∗ - f ) .
Esto termina la prueba ya que . Tenga en cuenta que esta relación también se presenta como un caso especial del lema de Lebesgue .
En otras palabras, el polinomio de interpolación es como máximo un factor Λ n ( T ) + 1 peor que la mejor aproximación posible. Esto sugiere que buscamos un conjunto de nodos de interpolación con una pequeña constante de Lebesgue.
La constante de Lebesgue se puede expresar en términos de polinomios de base de Lagrange :
De hecho, tenemos la función de Lebesgue
y la constante de Lebesgue (o número de Lebesgue) para la cuadrícula es su valor máximo
Sin embargo, no es fácil encontrar una expresión explícita para Λ n ( T ) .
Constantes mínimas de Lebesgue
En el caso de nodos equidistantes, la constante de Lebesgue crece exponencialmente . Más precisamente, tenemos la siguiente estimación asintótica
Por otro lado, la constante de Lebesgue crece solo logarítmicamente si se utilizan nodos de Chebyshev , ya que tenemos
Concluimos nuevamente que los nodos de Chebyshev son una muy buena opción para la interpolación polinomial. Sin embargo, hay una transformación fácil (lineal) de los nodos de Chebyshev que da una mejor constante de Lebesgue. Sea t i el i -ésimo nodo de Chebyshev. Entonces, defina
Para tales nodos:
Sin embargo, esos nodos no son óptimos (es decir, no minimizan las constantes de Lebesgue) y la búsqueda de un conjunto óptimo de nodos (que ya ha demostrado ser único bajo algunos supuestos) sigue siendo un tema intrigante en las matemáticas de hoy. Sin embargo, este conjunto de nodos es óptimo para la interpolación sobreel conjunto de n funciones diferenciables cuyas n -ésimas derivadas están acotadas en valores absolutos por una constante M como lo muestra NS Hoang. Usando una computadora , uno puede aproximar los valores de las constantes mínimas de Lebesgue, aquí para el intervalo canónico [−1, 1] :
norte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Λ n ( T ) 1,0000 1.2500 1.4229 1,5595 1,6722 1.7681 1.8516 1.9255 1.9917
Hay innumerables infinitos conjuntos de nodos en [−1,1] que minimizan, para n > 1 fijo , la constante de Lebesgue. Aunque si asumimos que siempre tomamos -1 y 1 como nodos para la interpolación (lo que se denomina configuración de nodo canónica ), entonces dicho conjunto es único y simétrico cero. Para ilustrar esta propiedad, veremos qué sucede cuando n = 2 (es decir, consideramos 3 nodos de interpolación, en cuyo caso la propiedad no es trivial). Se puede comprobar que cada conjunto de nodos (simétricos cero) de tipo (- a , 0, a ) es óptimo cuando√ 8/3≤ a ≤ 1 (consideramos solo los nodos en [−1, 1]). Si forzamos que el conjunto de nodos sea del tipo (−1, b , 1) , entonces b debe ser igual a 0 (observe la función de Lebesgue, cuyo máximo es la constante de Lebesgue). Todos los conjuntos óptimos de nodos arbitrarios (es decir, simétricos cero o asimétricos cero) en [−1,1] cuando n = 2 han sido determinados por F. Schurer, y de forma alternativa por H.-J. Rack y R. Vajda (2014).
Si asumimos que tomamos −1 y 1 como nodos para la interpolación, entonces, como lo muestra H.-J. Rack (1984 y 2013), para el caso n = 3, se conocen los valores explícitos de los 4 nodos de interpolación óptimos (únicos y simétricos cero) y el valor explícito de la constante mínima de Lebesgue. Todos los conjuntos óptimos arbitrarios de 4 nodos de interpolación en [1,1] cuando n = 3 han sido determinados explícitamente, de dos formas diferentes pero equivalentes, por H.-J. Rack y R. Vajda (2015).
Los puntos de Padua proporcionan otro conjunto de nodos con crecimiento lento (aunque no tan lento como los nodos de Chebyshev) y con la propiedad adicional de ser un conjunto de puntos no disolventes .
Sensibilidad de los valores de un polinomio
Las constantes de Lebesgue también surgen en otro problema. Sea p ( x ) un polinomio de grado n expresado en la forma lagrangiana asociado con los puntos en el vector t (es decir, el vector u de sus coeficientes es el vector que contiene los valores). Dejarser un polinomio obtenido cambiando ligeramente los coeficientes u del polinomio original p ( x ) a. Considere la desigualdad:
Esto significa que el error (relativo) en los valores de no será mayor que la constante de Lebesgue apropiada multiplicada por el error relativo en los coeficientes. En este sentido, la constante de Lebesgue puede verse como el número de condición relativa del operador mapeando cada vector de coeficiente u al conjunto de valores del polinomio con coeficientes u en la forma de Lagrange. De hecho, podemos definir un operador de este tipo para cada base polinomial, pero su número de condición es mayor que la constante de Lebesgue óptima para las bases más convenientes.
Referencias
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- Ibrahimoglu, Bayram Ali (2016), "Funciones de Lebesgue y constantes de Lebesgue en la interpolación polinomial", Journal of Inequalities and Applications : 2016: 93, doi : 10.1186 / s13660-016-1030-3 , ISSN 1029-242X
- Rejilla, H.-J. (1984), "Un ejemplo de nodos óptimos para la interpolación" , Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 15 (3): 355–357, doi : 10.1080 / 0020739840150312 , ISSN 1464-5211
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- Rack, H.-J .; Vajda, R. (2014), "Sobre la interpolación de Lagrange cuadrática óptima: sistemas de nodos extremos con una constante de Lebesgue mínima a través del cálculo simbólico" , Serdica Journal of Computing , 8 : 71–96, ISSN 1312-6555
- Rack, H.-J .; Vajda, R. (2015), "Sobre la interpolación de Lagrange cúbica óptima: sistemas de nodos extremos con constante de Lebesgue mínima" (PDF) , Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica , 60 (2): 151-171, ISSN 0252-1938
- Schurer, F. (1974), "Una observación sobre conjuntos extremos en la teoría de la interpolación polinómica", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 9 : 77–79, ISSN 0081-6906
- Hoang, NS, Distribución en nodos para métodos de interpolación y espectrales. , arXiv : 1305.6104 , Bibcode : 2013arXiv1305.6104H
- Constantes de Lebesgue en MathWorld .