En la interpolación polinomial de dos variables , los puntos de Padua son el primer ejemplo conocido (y hasta ahora el único) de un conjunto de puntos no disolventes (es decir, el polinomio de interpolación es único) con un crecimiento mínimo de su constante de Lebesgue , demostrado ser O (log 2 n ). [1] Su nombre se debe a la Universidad de Padua , donde fueron descubiertos originalmente. [2]
Los puntos se definen en el dominio . Es posible utilizar los puntos con cuatro orientaciones, obtenidas con rotaciones posteriores de 90 grados: de esta manera obtenemos cuatro familias diferentes de puntos de Padua.
Puntos de Padua de la primera familia y de grado 5, graficados con su curva generadora.
Puntos de Padua de la primera familia y de grado 6, graficados con su curva generadora.
Podemos ver el punto de Padua como un " muestreo " de una curva paramétrica , llamada curva generadora , que es ligeramente diferente para cada una de las cuatro familias, de modo que los puntos para el grado de interpolación y familia Puede ser definido como
En realidad, los puntos de Padua se encuentran exactamente en las autointersecciones de la curva y en las intersecciones de la curva con los límites del cuadrado. . La cardinalidad del conjunto es . Además, para cada familia de puntos de Padua, dos puntos se encuentran en vértices consecutivos del cuadrado., los puntos se encuentran en los bordes del cuadrado y los puntos restantes se encuentran en las auto-intersecciones de la curva generadora dentro del cuadrado. [3] [4]
Las cuatro curvas generadoras son curvas paramétricas cerradas en el intervalo, y son un caso especial de curvas de Lissajous .
La primera familia
La curva generadora de puntos de Padua de la primera familia es
Si lo muestreamos como está escrito arriba, tenemos:
dónde Cuándo es par o impar pero incluso, Si y ambos son extraños
con
De esto se deduce que las puntas de Padua de la primera familia tendrán dos vértices en la parte inferior si es par, o a la izquierda si es impar.
La segunda familia
La curva generadora de puntos de Padua de la segunda familia es
lo que lleva a tener vértices a la izquierda si es uniforme y en la parte inferior si es impar.
La tercera familia
La curva generadora de puntos de Padua de la tercera familia es
lo que lleva a tener vértices en la parte superior si es par y a la derecha si es impar.
La cuarta familia
La curva generadora de puntos de Padua de la cuarta familia es
lo que lleva a tener vértices a la derecha si es parejo y en la parte superior si es impar.
La representación explícita de su polinomio fundamental de Lagrange se basa en el núcleo de reproducción , y , del espacio equipado con el producto interior
definido por
con que representa el polinomio de Chebyshev normalizado de grado (es decir, , dónde es el polinomio clásico de Chebyshev de primer tipo de grado). [3] Para las cuatro familias de los puntos de Padua, que podemos denotar por, , la fórmula de interpolación de orden de la función en el punto de destino genérico es entonces
dónde es el polinomio fundamental de Lagrange
Los pesos se definen como