En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , el teorema de Lefschetz sobre (1,1) -clases , llamado así por Solomon Lefschetz , es un enunciado clásico que relaciona haces de líneas holomórficas en una variedad compacta de Kähler con clases en su cohomología integral . Es el único caso de la conjetura de Hodge que se ha probado para todas las variedades de Kähler. [1]
Declaración del teorema
Sea X una variedad Kähler compacta. La primera clase Chern c 1 da un mapa de haces de líneas holomórficas a H 2 ( X , Z ) . Según la teoría de Hodge , el grupo de cohomología de De Rham H 2 ( X , C ) se descompone como una suma directa H 0,2 ( X ) ⊕ H 1,1 ( X ) ⊕ H 2,0 ( X ) , y se puede probar que la imagen de c 1 se encuentra en H 1,1 ( X ). El teorema dice que el mapa de H 2 ( X , Z ) ∩ H 1,1 ( X ) es sobreyectivo.
En el caso especial donde X es una variedad proyectiva , los haces de líneas holomórficas están en biyección con la clase de divisores de equivalencias lineales , y dado un divisor D en X con el haz de líneas asociado O (D) , la clase c 1 ( O (D) ) es Poincaré dual a la clase de homología dado por D . Así, esto establece la formulación habitual de la conjetura de Hodge para divisores en variedades proyectivas.
Prueba usando funciones normales
La demostración original de Lefschetz [2] trabajaba en superficies proyectivas y usaba funciones normales, que fueron introducidas por Poincaré. Supongamos que C t es un lápiz de curvas en X . Cada una de estas curvas tiene una variedad jacobiana JC t (si una curva es singular, hay una variedad jacobiana generalizada apropiada). Estos se pueden ensamblar en una familia., el jacobiano del lápiz, que viene con un mapa de proyección π a la base T del lápiz. Una función normal es una sección (holomórfica) de π.
Fijar una incrustación de X en P N , y elegir un lápiz de curvas C t en X . Para una Γ curva fija en X , la intersección de Γ y C t es un divisor p 1 ( t ) + ... + p d ( t ) en C t , donde d es el grado de X . Fije un punto base p 0 del lápiz. Entonces el divisor p 1 ( t ) + ... + p d ( t ) - dp 0 es un divisor de grado cero, y consecuentemente determina una clase ν Γ ( t ) en el jacobiano JC t para todo t . El mapa de t a ν Γ ( t ) es una función normal.
Henri Poincaré demostró que para un lápiz general de curvas, todas las funciones normales surgían como ν Γ ( t ) para alguna elección de Γ. Lefschetz demostró que cualquier función normal determina una clase en H 2 ( X , Z ) y que la clase de ν Γ es la clase fundamental de Γ. Además, demostró que una clase en H 2 ( X , Z ) es la clase de una función normal si y solo si se encuentra en H 1,1 . Junto con el teorema de existencia de Poincaré, esto prueba el teorema de las clases (1,1).
Prueba mediante cohomología de gavilla
Debido a que X es una variedad compleja, admite una secuencia de gavillas exponencial [3]
Tomando la cohomología de la gavilla de esta secuencia exacta se obtienen mapas
El grupo Pic X de paquetes de líneas en X es isomorfo a. El primer mapa de la clase Chern es c 1 por definición, por lo que basta con mostrar que i * es cero.
Como X es Kähler, la teoría de Hodge implica que. Sin embargo, i * factores a través del mapa de H 2 ( X , Z ) a H 2 ( X , C ), y en H 2 ( X , C ), i * es la restricción de la proyección en H 0,2 ( X ). De ello se deduce que es cero en H 2 ( X , Z ) ∩ H 1,1 ( X ) y, en consecuencia, que el mapa de clases de ciclo es sobreyectivo. [4]
Referencias
- ^ Griffiths y Harris 1994 , p. 163
- ↑ Lefschetz, 1924
- ^ Griffiths y Harris 1994 , p. 37
- ^ Griffiths y Harris 1994 , págs. 163-164
Bibliografía
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (en francés), París: Gauthier-Villars Reimpreso en Lefschetz, Solomon (1971), artículos seleccionados , Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR 0299447