En matemáticas , la secuencia de gavillas exponencial es una secuencia exacta corta fundamental de gavillas que se utiliza en geometría compleja .
Deje que M sea un colector complejo , y escribir O M para la gavilla de funciones holomorfas en M . Sea O M * la subhecha que consta de las funciones holomórficas que no desaparecen. Ambas son gavillas de grupos abelianos . La función exponencial da un homomorfismo de gavilla.
porque para una función holomórfica f , exp ( f ) es una función holomórfica que no desaparece, y exp ( f + g ) = exp ( f ) exp ( g ). Su núcleo es el haz 2π i Z de funciones localmente constantes en M tomando los valores 2π in , con n un número entero . La secuencia exponencial de la gavilla es por tanto
El mapeo exponencial aquí no siempre es un mapa sobreyectivo en secciones; esto se puede ver, por ejemplo, cuando M es un disco perforado en el plano complejo. El mapa exponencial es sobreyectiva en los tallos : Dado un germen g de una función holomorfa en un punto P de tal manera que g ( P ) ≠ 0, se puede tomar el logaritmo de g en un barrio de P . La larga secuencia exacta de la cohomología de la gavilla muestra que tenemos una secuencia exacta
para cualquier conjunto abierto U de M. Aquí H 0 significa simplemente las secciones sobre U , y la cohomología de la gavilla H 1 (2π i Z | U ) es la cohomología singular de U.
Uno puede pensar en H 1 (2π i Z | U ) como la asociación de un número entero para cada bucle en U . Para cada sección de O M *, el homomorfismo de conexión a H 1 (2π i Z | U ) da el número de bobinado para cada bucle. Entonces, este homomorfismo es, por lo tanto, un número de bobinado generalizado y mide la falla de U para ser contractible . En otras palabras, existe un potencial de obstrucción topológica a tomar un mundiallogaritmo de una función holomórfica que no desaparece, algo que siempre es localmente posible.