Proceso Lévy

Proceso estocástico en la teoría de la probabilidad

En la teoría de la probabilidad , un proceso de Lévy , llamado así por el matemático francés Paul Lévy , es un proceso estocástico con incrementos estacionarios independientes: representa el movimiento de un punto cuyos sucesivos desplazamientos son aleatorios , en el que los desplazamientos en intervalos de tiempo disjuntos por pares son independientes, y los desplazamientos en diferentes intervalos de tiempo de la misma longitud tienen distribuciones de probabilidad idénticas. Por tanto, un proceso de Lévy puede verse como el análogo de tiempo continuo de un paseo aleatorio .

Los ejemplos más conocidos de procesos de Lévy son el proceso de Wiener , a menudo llamado proceso de movimiento browniano , y el proceso de Poisson . Otros ejemplos importantes incluyen el proceso Gamma , el proceso Pascal y el proceso Meixner. Aparte del movimiento browniano con deriva, todos los demás procesos de Lévy propios (es decir, no deterministas) tienen trayectorias discontinuas . Todos los procesos de Lévy son procesos aditivos . ^[1]

Definición matemática

Se dice que un proceso estocástico es un proceso de Lévy si satisface las siguientes propiedades:${\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}$

1. ${\displaystyle X_{0}=0\,}$ casi seguro ;
2. Independencia de incrementos : Para cualquiera,son mutuamente independientes ;${\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty }$${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$
3. Incrementos estacionarios: Para cualquiera , es igual en distribución a${\displaystyle s<t\,}$${\displaystyle X_{t}-X_{s}\,}$${\displaystyle X_{t-s};\,}$
4. Continuidad en probabilidad: Para cualquiera y sostiene que${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0.}$

Si se trata de un proceso de Lévy, entonces se puede construir una versión que sea casi seguramente continua a la derecha con límites a la izquierda .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\mapsto X_{t}}$

Propiedades

Incrementos independientes

Un proceso estocástico de tiempo continuo asigna una variable aleatoria X _t a cada punto t ≥ 0 en el tiempo. En efecto, es una función aleatoria de t . Los incrementos de tal proceso son las diferencias X _s - X _t entre sus valores en diferentes momentos t < s . Llamar a los incrementos de un proceso independientes significa que los incrementos X _s - X _t y X _u - X _v son independientesvariables aleatorias siempre que los dos intervalos de tiempo no se superponen y, de manera más general, cualquier número finito de incrementos asignados a intervalos de tiempo por pares que no se superponen son mutuamente (no solo por pares ) independientes.

Incrementos estacionarios

Llamar a los incrementos estacionarios significa que la distribución de probabilidad de cualquier incremento X _t - X _s depende sólo de la longitud t  -  s del intervalo de tiempo; los incrementos en intervalos de tiempo igualmente largos se distribuyen de forma idéntica.

Si es un proceso de Wiener , la distribución de probabilidad de X _t  -  X _s es normal con valor esperado 0 y varianza t  -  s .${\displaystyle X}$

Si es el proceso de Poisson , la distribución de probabilidad de X _t  -  X _s es una distribución de Poisson con valor esperado λ ( t  -  s ), donde λ> 0 es la "intensidad" o "tasa" del proceso.${\displaystyle X}$

Divisibilidad infinita

La distribución de un proceso de Lévy tiene la propiedad de divisibilidad infinita : dado cualquier número entero n , la ley de un proceso de Lévy en el tiempo t se puede representar como la ley de n variables aleatorias independientes, que son precisamente los incrementos del proceso de Lévy a lo largo del tiempo. intervalos de longitud t / n, que son independientes e idénticamente distribuidos por los supuestos 2 y 3. A la inversa, para cada distribución de probabilidad infinitamente divisible , existe un proceso de Lévy tal que la ley de está dada por .${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle F}$

Momentos

En cualquier proceso de Lévy con momentos finitos , el n- ésimo momento es una función polinomial de t ; estas funciones satisfacen una identidad binomial :${\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}$

${\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}$

Representación de Lévy – Khintchine

La distribución de un proceso de Lévy se caracteriza por su función característica , que viene dada por la fórmula de Lévy-Khintchine (general para todas las distribuciones infinitamente divisibles ): ^[2]

Si es un proceso de Lévy, entonces su función característica viene dada por${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle \varphi _{X}(\theta )}$

${\displaystyle \varphi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {I} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}\right)\right)}}$

donde , y es una σ medida -finite llamada la medida Lévy de , la satisfacción de la propiedad${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma \geq 0}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\min(1,x^{2})\,\Pi (dx)}<\infty .}$

En lo anterior, es la función del indicador . Debido a que las funciones características determinan de forma única sus distribuciones de probabilidad subyacentes, cada proceso de Lévy está determinado de forma única por el "triplete Lévy-Khintchine" . Los términos de este triplete sugieren que se puede considerar que un proceso de Lévy tiene tres componentes independientes: una deriva lineal, un movimiento browniano y un proceso de salto de Lévy, como se describe a continuación. Esto da inmediatamente que el único proceso de Lévy continuo (no determinista) es un movimiento browniano con deriva; del mismo modo, cada proceso de Lévy es una semimartingala . ^[3]${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}$

Descomposición de Lévy-Itô

Debido a que las funciones características de las variables aleatorias independientes se multiplican, el teorema de Lévy-Khintchine sugiere que cada proceso de Lévy es la suma del movimiento browniano con deriva y otra variable aleatoria independiente, un proceso de salto de Lévy. La descomposición de Lévy-Itô describe este último como una suma (estocástica) de variables aleatorias independientes de Poisson.

Sea , es decir, la restricción de a , renormalizada para ser una medida de probabilidad; de manera similar, deje (pero no cambie la escala). Luego ${\displaystyle \nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$${\displaystyle \mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {I} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.}$

La primera es la función característica de un proceso de Poisson compuesto con intensidad y distribución secundaria . El último es el de un proceso de Poisson generalizado compensado (CGPP): un proceso con innumerables discontinuidades de salto en cada intervalo como , pero tales que esas discontinuidades son de magnitud menor que . Si , entonces el CGPP es un proceso de salto puro . ^{[4] [5]}${\displaystyle \Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty }$

Generalización

Un campo aleatorio de Lévy es una generalización multidimensional del proceso de Lévy. ^{[6] [7]} Aún más generales son los procesos descomponibles. ^[8]

Ver también

• Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
• Proceso de salchicha
• Proceso de Poisson
• Proceso gamma
• Proceso de Markov
• Vuelo de Lévy

Referencias

1. Sato, Ken-Ito (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 31–68. ISBN 9780521553025.
2. Zolotarev, Vladimir M. Distribuciones estables unidimensionales. Vol. 65. American Mathematical Soc., 1986.
3. Protter PE Integración estocástica y ecuaciones diferenciales. Springer, 2005.
4. Kyprianou, Andreas E. (2014), "La descomposición de Lévy-Itô y la estructura de la ruta", Fluctuaciones de los procesos de Lévy con aplicaciones , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, págs. 35-69, doi : 10.1007 / 978-3-642- 37632-0_2 , ISBN 9783642376313
5. Lawler, Gregory (2014). "Cálculo estocástico: una introducción a las aplicaciones" (PDF) . Departamento de Matemáticas (Universidad de Chicago) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de marzo de 2018 . Consultado el 3 de octubre de 2018 .
6. Wolpert, Robert L .; Ickstadt, Katja (1998), "Simulación de campos aleatorios de Lévy", Estadísticas bayesianas prácticas no paramétricas y semiparamétricas , Lecture Notes in Statistics, Springer, Nueva York, doi : 10.1007 / 978-1-4612-1732-9_12 , ISBN 978-1-4612-1732-9
7. Wolpert, Robert L. (2016). "Campos aleatorios de Lévy" (PDF) . Departamento de Ciencia Estadística (Universidad de Duke) .
8. Feldman, Jacob (1971). "Procesos descomponibles y productos continuos de espacios de probabilidad" . Revista de análisis funcional . 8 (1): 1–51. doi : 10.1016 / 0022-1236 (71) 90017-6 . ISSN 0022-1236 . 

• Applebaum, David (diciembre de 2004). "Procesos de Lévy: de probabilidad a finanzas y grupos cuánticos" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 51 (11): 1336-1347. ISSN  1088-9477 .
• Cont, Rama; Tankov, Peter (2003). Modelado financiero con procesos de salto . Prensa CRC. ISBN 978-1584884132..
• Sato, Ken-Iti (2011). Procesos Lévy y Distribuciones Infinitamente Divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521553025..
• Kyprianou, Andreas E. (2014). Fluctuaciones de los procesos de Lévy con las aplicaciones. Conferencias introductorias. Segunda edición . Saltador. ISBN 978-3642376313..