Un proceso aditivo , en la teoría de la probabilidad , es un cadlag , proceso estocástico de probabilidad continuo con incrementos independientes . Un proceso aditivo es la generalización de un proceso Lévy (un proceso Lévy es un proceso aditivo con incrementos distribuidos de manera idéntica). Un ejemplo de un proceso aditivo es un movimiento browniano con una deriva dependiente del tiempo. [1] Paul Lévy introdujo el proceso aditivo en 1937. [2]
Existen aplicaciones del proceso aditivo en las finanzas cuantitativas [3] (esta familia de procesos puede capturar características importantes de la volatilidad implícita ) y en el procesamiento de imágenes digitales . [4]
Definición
Un proceso aditivo es una generalización de un proceso de Lévy obtenido relajando la hipótesis de incrementos idénticamente distribuidos. Gracias a esta característica, un proceso aditivo puede describir fenómenos más complejos que un proceso de Lévy.
Un proceso estocástico en tal que casi con seguridad es un proceso aditivo si satisface la siguiente hipótesis:
- Tiene incrementos independientes.
- Es continuo en probabilidad. [1]
Principales propiedades
Incrementos independientes
Un proceso estocástico tiene incrementos independientes si y solo si para cualquier la variable aleatoria es independiente de la variable aleatoria . [5]
Continuidad en probabilidad
Un proceso estocástico es continua en probabilidad si, y solo si, para cualquier
Representación de Lévy – Khintchine
Existe un fuerte vínculo entre el proceso aditivo y las distribuciones infinitamente divisibles . Un proceso aditivo a la vez tiene una distribución infinitamente divisible caracterizada por el triplete generador . es un vector en , es una matriz en y es una medida en tal que y . [6]
se llama término de deriva, matriz de covarianza y Medida de Lévy. Es posible escribir explícitamente la función característica aditiva del proceso usando la fórmula de Lévy-Khintchine :
dónde es un vector en y es la función indicadora del conjunto . [7]
Una función característica del proceso de Lèvy tiene la misma estructura pero con y con un vector en , una matriz definida positiva en y es una medida en . [8]
Existencia y unicidad en la ley del proceso aditivo.
El siguiente resultado junto con la fórmula de Lévy – Khintchine caracteriza el proceso aditivo.
Dejar ser un proceso aditivo en . Entonces, su distribución infinitamente divisible es tal que:
- Para todos , es una matriz definida positiva.
- y para todos es tal que , es una matriz definida positiva y para cada en .
- Si y cada en , .
A la inversa, para la familia de distribuciones infinitamente divisibles caracterizadas por un triplete generador que satisface 1, 2 y 3, existe un proceso aditivo con esta distribución. [9] [10]
Subclase de proceso aditivo
Subordinador aditivo
Un proceso aditivo positivo no decreciente con valores en es un subordinador aditivo . Un subordinador aditivo es una semimartingala (gracias a que no es decreciente) y siempre es posible reescribir su transformada de Laplace como
Es posible utilizar un subordinador aditivo para cambiar el tiempo de un proceso Lévy obteniendo una nueva clase de procesos aditivos. [12]
Proceso Sato
Un proceso aditivo auto-similar se llama proceso Sato. [13] Es posible construir un proceso Sato a partir de un proceso Lévy tal que tiene la misma ley de .
Un ejemplo es el SSD de varianza gamma, el proceso Sato obtenido a partir del proceso de varianza gamma .
La función característica de la varianza gamma en el tiempo es
dónde y son constantes positivas.
La función característica de la varianza gamma SSD es
Aplicaciones
Finanzas cuantitativas
El proceso de Lévy se utiliza para modelar los retornos logarítmicos de los precios de mercado. Desafortunadamente, la estacionariedad de los incrementos no reproduce correctamente los datos de mercado. Un proceso de Lévy se ajusta bien a los precios de las opciones de compra y de venta ( sonrisa de volatilidad implícita ) para una sola fecha de vencimiento, pero no puede ajustar los precios de las opciones con diferentes vencimientos ( superficie de volatilidad ). El proceso aditivo introduce una no estacionariedad determinista que le permite adaptarse a todas las fechas de vencimiento. [3]
Un proceso Sato de cuatro parámetros (proceso aditivo auto-similar) puede reproducir correctamente la superficie de volatilidad (error del 3% en el mercado de valores S&P 500 ). Este orden de magnitud de error generalmente se obtiene utilizando modelos con 6-10 parámetros para ajustar los datos del mercado. [15] Un proceso auto-similar describe correctamente los datos del mercado debido a su sesgo plano y su exceso de curtosis ; Los estudios empíricos habían observado este comportamiento en el sesgo del mercado y el exceso de curtosis. [16] Algunos de los procesos que ajustan los precios de las opciones con un error del 3% son VGSSD, NIGSSD, MXNRSSD obtenidos del proceso gamma de varianza, proceso Gaussiano inverso normal y proceso Meixner. [17]
La subordinación de Lévy se utiliza para construir nuevos procesos de Lévy (por ejemplo, el proceso gamma de varianza y el proceso gaussiano inverso normal). Existe una gran cantidad de aplicaciones financieras de procesos construidos por la subordinación de Lévy. Un proceso aditivo construido a través de la subordinación aditiva mantiene la tractabilidad analítica de un proceso construido a través de la subordinación de Lévy, pero refleja mejor la estructura no homogénea en el tiempo de los datos del mercado. [18] La subordinación aditiva se aplica al mercado de productos básicos [19] ya las opciones VIX. [20]
Procesando imagen digital
Se puede aplicar un estimador basado en el mínimo de un proceso aditivo al procesamiento de imágenes. Dicho estimador tiene como objetivo distinguir entre la señal real y el ruido en los píxeles de la imagen. [4]
Referencias
- ↑ a b Tankov y Cont , 2003 , p. 455.
- ^ Tankov y Cont , 2003 , p. 468.
- ↑ a b Tankov y Cont , 2003 , p. 454.
- ↑ a b Bhattacharya y Brockwell , 1976 , p. 71.
- ↑ a b Tankov y Cont , 2003 , p. 80.
- ^ Sato 1999 , p. 47.
- ^ Sato 1999 , págs. 37–38.
- ^ Tankov y Cont , 2003 , p. 95.
- ^ Tankov y Cont , 2003 , p. 458.
- ^ Sato 1999 , p. 63.
- ^ Li, Li y Mendoza-Arriaga 2016 , págs. 5-6.
- ^ Li, Li y Mendoza-Arriaga 2016 , p. 1.
- ^ Eberlein y Madan 2009 , p. 5.
- ^ Carr y col. 2007 , pág. 39.
- ^ Carr y col. 2007 , pág. 32.
- ^ Carr y col. 2007 , págs.37.
- ^ Carr y col. 2007 , págs. 39–42.
- ^ Li, Li y Mendoza-Arriaga 2016 , págs.3.
- ^ Li, Li y Mendoza-Arriaga 2016 , p. 17.
- ^ Li, Li y Zhang 2017 , p. 1.
Fuentes
- Tankov, Peter; Cont, Rama (2003). Modelización financiera con procesos de salto . Chapman y Hall. ISBN 1584884134.
- Sato, Ken-Ito (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521553025.
- Li, Jing; Li, Lingfei; Mendoza-Arriaga, Rafael (2016). "La subordinación aditiva y sus aplicaciones en finanzas". Finanzas y estocástica . 20 (3): 2–6. doi : 10.1007 / s00780-016-0300-8 .
- Eberlein, Ernst; Madan, Dilip B. (2009). "Procesos Sato y valoración de productos estructurados". Finanzas cuantitativas . 9 (1). doi : 10.1080 / 14697680701861419 .
- Carr, Peter; Geman, Hélyette; Madan, Dilip B .; Yor, Marc (2007). "AUTO DESCOMPOSIBILIDAD Y OPCIÓN DE PRECIOS". Finanzas matemáticas . 17 (1). doi : 10.1111 / j.1467-9965.2007.00293.x .
- Li, Jing; Li, Lingfei; Zhang, Gongqiu (2017). "Modelos de salto puro para la fijación de precios y cobertura de derivados VIX". Revista de Control y Dinámica Económica . 74 . doi : 10.1016 / j.jedc.2016.11.001 .
- Bhattacharya, PK; Brockwell, PJ (1976). "El mínimo de un proceso aditivo con aplicaciones a la estimación de señales y teoría de almacenamiento". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 37 (1). doi : 10.1007 / BF00536298 .