En las matemáticas de la teoría de Lie , el tercer teorema de Lie establece que cada álgebra de Lie de dimensión finita sobre los números reales se asocia a un grupo de Lie G . El teorema es parte de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie .
Históricamente, el tercer teorema se refería a un resultado diferente pero relacionado. Los dos teoremas precedentes de Sophus Lie , reformulados en el lenguaje moderno, se relacionan con las transformaciones infinitesimales de una acción grupal sobre una variedad suave . El tercer teorema de la lista estableció la identidad de Jacobi para las transformaciones infinitesimales de un grupo de Lie local . Por el contrario, en presencia de un álgebra de Lie de campos vectoriales , la integración da una acción de grupo de Lie local . El resultado ahora conocido como el tercer teorema proporciona un inverso intrínseco y global al teorema original.
Teorema de cartan
La equivalencia entre la categoría de grupos de Lie reales simplemente conectados y álgebras de Lie reales de dimensión finita se suele llamar (en la literatura de la segunda mitad del siglo XX) Cartan o el teorema de Cartan-Lie como lo demostró Élie Cartan . Sophus Lie había probado previamente la versión infinitesimal: solvabilidad local de la ecuación de Maurer-Cartan , o la equivalencia entre la categoría de álgebras de Lie de dimensión finita y la categoría de grupos de Lie locales.
Lie enumeró sus resultados como tres teoremas directos y tres inversos. La variante infinitesimal del teorema de Cartan era esencialmente el tercer teorema inverso de Lie. En un influyente libro [1], Jean-Pierre Serre lo llamó el tercer teorema de Lie . El nombre es históricamente algo engañoso, pero a menudo se usa en conexión con generalizaciones.
Serre proporcionó dos pruebas en su libro: una basada en el teorema de Ado y otra que cuenta la prueba de Élie Cartan.
Ver también
Referencias
- ↑ Jean-Pierre Serre (1992) [1965] Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures Given in Harvard University , página 152, Springer ISBN 978-3-540-55008-2
- Cartan, Élie (1930), "La théorie des groupes finis et continus et l ' Analysis Situs ", Mémorial Sc. Matemáticas. , XLII , págs. 1–61
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2a ed.), Springer, doi : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666
- Helgason, Sigurdur (2001), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Estudios de posgrado en matemáticas , 34 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2848-9, Señor 1834454
enlaces externos
- Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas (EoM)