En matemáticas , la forma Maurer-Cartan para un grupo de Lie G es un distinguido diferencial de una sola forma en G que lleva la información básica infinitesimal sobre la estructura de G . Fue muy utilizado por Élie Cartan como ingrediente básico de su método de mover marcos , y lleva su nombre junto con el de Ludwig Maurer .
Como una forma, la forma de Maurer-Cartan es peculiar porque toma sus valores en el álgebra de Lie asociada al grupo G de Lie . El álgebra de Lie se identifica con el espacio tangente de G en la identidad, denotado T e G . La forma Maurer-Cartan ω es por tanto una de una forma definida a nivel mundial en G que es un mapeo lineal del espacio tangente T g G en cada g ∈ G en T E G . Se da como el empuje hacia adelante de un vector en T g G a lo largo de la traducción a la izquierda en el grupo:
Motivación e interpretación
Un grupo de Lie actúa sobre sí mismo mediante la multiplicación bajo el mapeo
Una cuestión de importancia para Cartan y sus contemporáneos era cómo identificar un espacio homogéneo director de G . Es decir, una variedad P idéntica al grupo G , pero sin una elección fija de elemento unitario. Esta motivación fue, en parte, de Félix Klein 's programa de Erlangen , donde se interesó por una noción de simetría en un espacio, donde las simetrías del espacio eran transformaciones que forman un grupo de Lie. Las geometrías de interés eran espacios homogéneos G / H , pero normalmente sin una elección fija de origen correspondiente a la clase lateral eH .
Un espacio homogéneo principal de G es un colector P abstractamente caracteriza por tener una acción libre y transitiva de G sobre P . La forma Maurer-Cartan [1] da una caracterización infinitesimal apropiada del espacio homogéneo principal. Es una forma única definida en P que satisface una condición de integrabilidad conocida como ecuación de Maurer-Cartan. Usando esta condición de integrabilidad, es posible definir la función exponencial del álgebra de Lie y de esta manera obtener, a nivel local, una acción de grupo en P .
Construcción
Construcción intrínseca
Sea g ≅ T e G el espacio tangente de un grupo de Lie G en la identidad (su álgebra de Lie ). G actúa sobre sí mismo por traslación a la izquierda
tal que para un g ∈ G dado tenemos
y esto induce un mapa del paquete tangente a sí mismo:Un campo vectorial invariante a la izquierda es una sección X de T G tal que [2]
La forma Maurer-Cartan ω es una g -valued de una sola forma en G define en vectores v ∈ T g G por la fórmula
Construcción extrínseca
Si G está incrustado en GL ( n ) mediante una asignación de valores matriciales g = ( g ij ) , entonces se puede escribir ω explícitamente como
En este sentido, la forma Maurer-Cartan es siempre la izquierda derivada logarítmica del mapa identidad de G .
Caracterización como conexión
Si consideramos el grupo de Lie G como un fibrado principal sobre un colector que consta de un solo punto, entonces la forma Maurer-Cartan también se puede caracterizar de forma abstracta como la única conexión principal en el fibrado principal G . De hecho, es la única forma g = T e G valorada 1 en G que satisface
donde R h * es el retroceso de las formas a lo largo de la traducción a la derecha en el grupo y Ad ( h ) es la acción adjunta en el álgebra de Lie.
Propiedades
Si X es un campo vectorial izquierdo-invariante en G , entonces ω ( X ) es constante en G . Además, si X e Y son invariantes a la izquierda, entonces
donde el corchete del lado izquierdo es el corchete de Lie de los campos vectoriales , y el corchete del lado derecho es el corchete del álgebra de Lie g . (Esto puede usarse como la definición del corchete en g .) Estos hechos pueden usarse para establecer un isomorfismo de las álgebras de Lie.
Según la definición de la derivada exterior , si X e Y son campos vectoriales arbitrarios, entonces
Aquí ω ( Y ) es la g función obtenida por la dualidad de emparejamiento de la de una sola forma -valued ω con el campo de vector Y , y X ( ω ( Y )) es la derivada de Lie de esta función a lo largo de X . De manera similar, Y ( ω ( X )) es la derivada de Lie a lo largo de Y de la función ω ( X ) valorada en g .
En particular, si X e Y son invariantes a la izquierda, entonces
entonces
pero los campos izquierda invariante abarcan el espacio tangente en cualquier punto (el empuje hacia adelante de una base en T e G bajo un difeomorfismo es todavía una base), por lo que la ecuación es verdadera para cualquier par de vector campos X y Y . Esto se conoce como la ecuación de Maurer-Cartan . A menudo se escribe como
Aquí [ω, ω] denota el corchete de las formas valoradas en álgebra de Lie .
Cuadro Maurer – Cartan
También se puede ver la forma Maurer-Cartan como construida a partir de un marco Maurer-Cartan . Sea E i una base de secciones de T G que constan de campos vectoriales invariantes a la izquierda, y θ j la base dual de secciones de T * G de manera que θ j ( E i ) = δ i j , el delta de Kronecker . Entonces E i es un marco Maurer-Cartan, y θ i es un coframe Maurer-Cartan .
Como E i es invariante a la izquierda, aplicarle la forma de Maurer-Cartan simplemente devuelve el valor de E i en la identidad. Por lo tanto, ω ( E i ) = E i ( e ) ∈ g . Por lo tanto, la forma Maurer-Cartan se puede escribir
( 1 )
Suponga que los corchetes de Lie de los campos vectoriales E i están dados por
Las cantidades c ij k son las constantes de estructura del álgebra de Lie (relativas a la base E i ). Un cálculo simple, utilizando la definición de la derivada exterior d , produce
para que por dualidad
( 2 )
Esta ecuación también se denomina a menudo ecuación de Maurer-Cartan . Para relacionarlo con la definición anterior, que solo involucraba la forma Maurer-Cartan ω , tome la derivada exterior de (1) :
Los componentes del marco vienen dados por
que establece la equivalencia de las dos formas de la ecuación de Maurer-Cartan.
En un espacio homogéneo
Las formas de Maurer-Cartan juegan un papel importante en el método de Cartan de mover marcos . En este contexto, uno puede ver la forma Maurer-Cartan como una 1 -forma definido en la tautológica fibrado principal asociado con un espacio homogéneo . Si H es un subgrupo cerrado de G , entonces G / H es un múltiple liso de dimensión dim G - dim H . El mapa cociente G → G / H induce la estructura de un H -Principal paquete sobre G / H . La forma Maurer-Cartan en el grupo de Lie G produce una conexión Cartan plana para este paquete principal. En particular, si H = { e }, entonces esta conexión de Cartan es una forma de conexión ordinaria , y tenemos
que es la condición para la desaparición de la curvatura.
En el método de marcos en movimiento, uno a veces considera una sección local del haz tautológica, digamos s : G / H → G . (Si se trabaja en una subvariedad del espacio homogéneo, entonces s sólo necesitan ser una sección local sobre la subvariedad). El retroceso de la forma Maurer-Cartan a lo largo de s define un degenerado no g -valued 1 -forma θ = s * ω sobre la base. La ecuación de Maurer-Cartan implica que
Además, si s U y s V son un par de secciones locales definidas, respectivamente, sobre conjuntos abiertos U y V , entonces están relacionadas por un elemento de H en cada fibra del haz:
El diferencial de h da una condición de compatibilidad que relaciona las dos secciones en la región de superposición:
donde ω H es la forma Maurer-Cartan en el grupo H .
Un sistema de no degenerada g -valued 1 -formas θ U definida sobre conjuntos abiertos en un colector M , satisfaciendo las ecuaciones estructurales Maurer-Cartan y las condiciones de compatibilidad dota el colector M localmente con la estructura del espacio homogéneo G / H . En otras palabras, hay localmente un difeomorfismo de M en el espacio homogéneo, de modo que θ U es el retroceso de la forma Maurer-Cartan a lo largo de alguna sección del paquete tautológico. Esta es una consecuencia de la existencia de primitivas del derivado de Darboux .
Notas
- ^ Introducido por Cartan (1904).
- ^ Sutileza: da un vector en
Referencias
- Cartan, Élie (1904). "Sur la structure des groupes infinis de transformations" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153-206. doi : 10.24033 / asens.538 .
- RW Sharpe (1996). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Berlín. ISBN 0-387-94732-9.
- Shlomo Sternberg (1964). "Capítulo V, Grupos de Lie. Sección 2, Formas invariantes y el álgebra de Lie". Conferencias sobre geometría diferencial . Prentice Hall. LCCN 64-7993 .