En geometría diferencial , una acción de grupo de Lie es una acción de grupo adaptada al entorno suave: G es un grupo de Lie , M es una variedad suave y el mapa de acción es diferenciable .
Definición y primeras propiedades
Dejar ser una acción de grupo (izquierda) de un grupo de Lie G sobre un colector suave M; se llama acción de grupo de mentiras (o acción suave) si el mapaes diferenciable. De manera equivalente, una acción de grupo de Lie de G sobre M consiste en un homomorfismo de grupo de Lie . Un múltiple liso dotado con una acción de grupo de Lie también se llama un G -manifold .
El hecho de que el mapa de acción es suave tiene un par de consecuencias inmediatas:
- los estabilizadores de la acción de grupo están cerrados, por lo que son subgrupos de Lie de G
- las orbitas de la acción grupal son subvariedades inmersas .
Olvidando la estructura suave, una acción de grupo de Lie es un caso particular de una acción de grupo continua .
Ejemplos de
Para cada grupo de Lie G, las siguientes son acciones de grupo de Lie:
- la acción trivial de G en cualquier variedad
- la acción de G sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda, multiplicación por la derecha o conjugación
- la acción de cualquier subgrupo de Lie en G por multiplicación por la izquierda, multiplicación por la derecha o conjugación
- la acción adjunta de G en su álgebra de Lie.
Otros ejemplos de acciones grupales de Lie incluyen:
- la acción de en M dado por el flujo de cualquier campo vectorial completo
- las acciones del grupo lineal general y de sus subgrupos de Lie en por multiplicación de matrices
- más generalmente, cualquier representación de grupo de Lie en un espacio vectorial
- cualquier acción de grupo hamiltoniano sobre una variedad simpléctica
- la acción transitiva subyacente a cualquier espacio homogéneo
- de manera más general, la acción de grupo subyacente a cualquier paquete principal
Acción de álgebra de mentira infinitesimal
Siguiendo el espíritu de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie, las acciones del grupo de Lie también pueden estudiarse desde el punto de vista infinitesimal. De hecho, cualquier acción de grupo de mentiras induce una acción infinitesimal de álgebra de Lie en M, es decir, un homomorfismo de álgebra de Lie . Intuitivamente, esto se obtiene diferenciando en la identidad el homomorfismo del grupo de Liee interpretar el conjunto de campos vectoriales como el álgebra de Lie del grupo de Lie (de dimensión infinita) .
Más precisamente, arreglando cualquier , el mapa orbital es diferenciable y se puede calcular su diferencial en la identidad . Si, luego su imagen debajo es un vector tangente en x , y variando x se obtiene un campo de vector en M . El menos de este campo vectorial, denotado por, también se denomina campo vectorial fundamental asociado con X (el signo menos asegura que es un homomorfismo del álgebra de Lie).
A la inversa, según el teorema de Lie-Palais , cualquier acción infinitesimal abstracta de un álgebra de Lie (de dimensión finita) sobre una variedad compacta puede integrarse a una acción de grupo de Lie. [1]
Además, una acción de álgebra de Lie infinitesimal es inyectiva si y solo si la acción del grupo de Lie global correspondiente es gratuita. Esto se sigue del hecho de que el núcleo de es el álgebra de mentira del estabilizador . Por otro lado,en general no sobreyectiva. Por ejemplo, dejaser un paquete G principal : la imagen de la acción infinitesimal es en realidad igual al subconjunto vertical .
Acciones adecuadas
Una clase importante (y común) de acciones grupales de Lie son las adecuadas . De hecho, tal condición topológica implica que
- los estabilizadores son compactos
- las orbitas son subvariedades incrustadas
- el espacio orbital es Hausdorff
En general, si un grupo G de Lie es compacto, cualquier acción G suave es automáticamente adecuada. Un ejemplo de acción adecuada por parte de un grupo de Lie no necesariamente compacto viene dado por la acción un subgrupo de Lie en G.
Estructura del espacio orbital
Dada una acción de grupo de Lie de G sobre M, el espacio orbital no admite en general una estructura múltiple. Sin embargo, si la acción es libre y adecuada, entonces tiene una estructura suave única tal que la proyección es una inmersión (de hecho,es un paquete G principal ). [2]
El hecho de que es Hausdorff depende sólo de la idoneidad de la acción (como se discutió anteriormente); el resto de la afirmación requiere libertad y es una consecuencia del teorema de la rebanada . Si la condición de "acción libre" (es decir, "tener cero estabilizadores") se relaja a "tener estabilizadores finitos",se convierte en su lugar en un orbifold (o cociente pila ).
Una aplicación de este principio es la construcción de Borel a partir de la topología algebraica . Suponiendo que G es compacto, supongamosdenotar el paquete universal , que podemos suponer que es una variedad ya que G es compacto, y deje que G actúe sobrediagonalmente. La acción es gratuita ya que lo es en el primer factor y es adecuada ya que G es compacto; así, uno puede formar la variedad cocientey definir la cohomología equivariante de M como
- ,
donde el lado derecho denota la cohomología de De Rham de la variedad.
Ver también
Referencias
- ↑ Palais, Richard S. (1957). "Una formulación global de la teoría de Lie de los grupos de transformación" . Memorias de la American Mathematical Society . 0 (22): 0-0. doi : 10.1090 / memo / 0022 . ISSN 0065-9266 .
- ^ Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-9982-5. OCLC 808682771 .
- Michele Audin, Acciones de Torus sobre variedades simplécticas , Birkhauser, 2004
- John Lee, Introducción a los colectores suaves , capítulo 9, ISBN 978-1-4419-9981-8
- Frank Warner, Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , capítulo 3, ISBN 978-0-387-90894-6