En matemáticas, en la teoría de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos , una solución estacionaria o cuasiestacionaria particular de un sistema no lineal se llama linealmente inestable si la linealización de la ecuación en esta solución tiene la forma, donde A es un operador lineal cuyo espectro contiene valores propios con parte real positiva . Si todos los valores propios tienen una parte real negativa , entonces la solución se llama linealmente estable . Otros nombres para la estabilidad lineal incluyen estabilidad exponencial o estabilidad en términos de primera aproximación . [1] [2] Si existe un valor propio con parte real cero, entonces la cuestión de la estabilidad no puede resolverse sobre la base de la primera aproximación y nos acercamos al llamado "problema de centro y foco". [3]
Ejemplo 1: EDO
La ecuación diferencial
tiene dos soluciones estacionarias (independientes del tiempo): x = 0 y x = 1. La linealización en x = 0 tiene la forma. El operador linealizado es A 0 = 1. El único valor propio es. Las soluciones a esta ecuación crecen exponencialmente; el punto estacionario x = 0 es linealmente inestable.
Para derivar la linealización en x = 1, se escribe, donde r = x - 1. La ecuación linealizada es entonces; el operador linealizado es A 1 = −1, el único valor propio es, por lo tanto, este punto estacionario es linealmente estable.
Ejemplo 2: NLS
La ecuación de Schrödinger no lineal
- , donde u ( x , t ) ∈ ℂ y k > 0,
tiene soluciones de ondas solitarias de la forma. [4] Para derivar la linealización en una onda solitaria, se considera la solución en la forma. La ecuación linealizada en es dado por
dónde
con
y
los operadores diferenciales . Según el criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov , [5] cuando k > 2, el espectro de A tiene valores propios puntuales positivos, de modo que la ecuación linealizada es linealmente (exponencialmente) inestable; para 0 < k ≤ 2, el espectro de A es puramente imaginario, de modo que las ondas solitarias correspondientes son linealmente estables.
Cabe mencionar que la estabilidad lineal no implica automáticamente estabilidad; en particular, cuando k = 2, las ondas solitarias son inestables. Por otro lado, para 0 < k <2, las ondas solitarias no solo son linealmente estables sino también orbitalmente estables . [6]
Ver también
Referencias
- ^ VI Arnold, Ecuaciones diferenciales ordinarias. Prensa del MIT, Cambridge, MA (1973)
- ^ P. Glendinning, Estabilidad, inestabilidad y caos: una introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales no lineales. Prensa de la Universidad de Cambridge, 1994.
- ^ VV Nemytskii, VV Stepanov, "Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales", Princeton Univ. Prensa (1960)
- ^ H. Berestycki y P.-L. Leones (1983). "Ecuaciones de campo escalares no lineales. I. Existencia de un estado fundamental". Arco. Mech racional. Anal . 82 (4): 313–345. Código Bibliográfico : 1983ArRMA..82..313B . doi : 10.1007 / BF00250555 .
- ^ NG Vakhitov y AA Kolokolov (1973). "Soluciones estacionarias de la ecuación de onda en el medio con saturación de no linealidad". Radiophys. Electrón cuántico . 16 (7): 783–789. Bibcode : 1973R y QE ... 16..783V . doi : 10.1007 / BF01031343 .
- ^ Manoussos Grillakis, Jalal Shatah y Walter Strauss (1987). "Teoría de la estabilidad de ondas solitarias en presencia de simetría. I". J. Funct. Anal . 74 : 160-197. doi : 10.1016 / 0022-1236 (87) 90044-9 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )