Lista de fractales por dimensión de Hausdorff

Artículo de la lista de Wikipedia

Benoit Mandelbrot ha declarado que "Un fractal es por definición un conjunto para el cual la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede estrictamente la dimensión topológica ". ^[1] Aquí se presenta una lista de fractales ordenados aumentando la dimensión de Hausdorff, con el propósito de visualizar lo que significa que un fractal tenga una dimensión baja o alta.

Fractales deterministas

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado. Buscar fuentes:  "Lista de fractales por dimensión de Hausdorff"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( septiembre de 2020 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Dimensión de Hausdorff (valor exacto)	Dimensión de Hausdorff (aprox.)	Nombre	Ilustración	Observaciones
Calculado	0.538	Atractor de Feigenbaum		El atractor de Feigenbaum (ver entre flechas) es el conjunto de puntos generados por iteraciones sucesivas de la función logística para el valor del parámetro crítico , donde el período de duplicación es infinito. Esta dimensión es la misma para cualquier función diferenciable y unimodal . [2]${\displaystyle \scriptstyle {\lambda _{\infty }=3.570}}$
${\displaystyle \log _{3}(2)}$	0,6309	Cantor conjunto		Construido quitando el tercio central en cada iteración. En ninguna parte densa y no un conjunto contable .
${\displaystyle \log _{2}(\varphi )=\log _{2}(1+{\sqrt {5}})-1}$	0,6942	Conjunto Cantor asimétrico		La dimensión no es , que es el conjunto de Cantor generalizado con γ = 1/4, que tiene la misma longitud en cada etapa. [3]${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln {\frac {8}{3}}}}}$ Construido eliminando el segundo trimestre en cada iteración. En ninguna parte densa y no un conjunto contable . ( corte dorado ).${\displaystyle \scriptstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle \log _{10}(5)=1-\log _{10}(2)}$	0,69897	Números reales cuya base de 10 dígitos son pares		Similar al conjunto Cantor . [4]
${\displaystyle \log(1+{\sqrt {2}})}$	0.88137	Espectro de fibonacci hamiltoniano		El estudio del espectro del Hamiltoniano de Fibonacci demuestra los límites superior e inferior de su dimensión fractal en el gran régimen de acoplamiento. Estos límites muestran que el espectro converge a una constante explícita. [5] [ página necesaria ]
${\displaystyle {\frac {-\log(2)}{\log \left(\displaystyle {\frac {1-\gamma }{2}}\right)}}}$	0 <D <1	Conjunto de Cantor generalizado		Construido quitando en la th iteración el intervalo central de longitud de cada segmento restante (de longitud ). En uno obtiene el habitual juego de Cantor . Variar entre 0 y 1 produce cualquier dimensión fractal . [6]${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma \,l_{m-1}}$${\displaystyle l_{m-1}=(1-\gamma )^{m-1}/2^{m-1}}$${\displaystyle \scriptstyle \gamma =1/3}$${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$${\displaystyle \scriptstyle 0\,<\,D\,<\,1}$
${\displaystyle 1}$	1	Conjunto Smith – Volterra – Cantor		Construido por la eliminación de un intervalo central de la longitud de cada intervalo restante en el n º iteración. En ninguna parte es denso pero tiene una medida de Lebesgue de ½.${\displaystyle 2^{-2n}}$
${\displaystyle 2+\log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1}$	1	Curva de Takagi o Blancmange		Definido en el intervalo unitario por , donde es la función de onda triangular . Caso especial de la curva Takahi-Landsberg: con . La dimensión de Hausdorff es igual para en . (Hunt citado por Mandelbrot [7] ).${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle w=1/2}$${\displaystyle 2+\log _{2}(w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \left[1/2,1\right]}$
Calculado	1.0812	Conjunto de Julia z² + 1/4		Julia estableció para c  = 1/4. [8]
Solución es de${\displaystyle 2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1}$	1.0933	Límite del fractal Rauzy		Representación fractal introducido por G.Rauzy de la dinámica asociada a la morfismo Tribonacci: , y . [9] [ página necesaria ] [10] es una de las raíces conjugadas de .${\displaystyle 1\mapsto 12}$${\displaystyle 2\mapsto 13}$${\displaystyle 3\mapsto 1}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle z^{3}-z^{2}-z-1=0}$
${\displaystyle 2\log _{7}(3)}$	1.12915	contorno de la isla Gosper		Término utilizado por Mandelbrot (1977). [11] La isla de Gosper es el límite de la curva de Gosper .
Medido (recuento de cajas)	1.2	Conjunto Dendrita Julia		Julia configuró los parámetros: Real = 0 e Imaginario = 1.
${\displaystyle 3{\frac {\log(\varphi )}{\log \left(\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\right)}}}$	1.2083	Fractal de palabra de Fibonacci 60 °		Construya a partir de la palabra Fibonacci . Consulte también la palabra fractal estándar de Fibonacci. ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$( proporción áurea ).
${\displaystyle {\begin{aligned}&2\log _{2}\left(\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{27-3{\sqrt {78}}}}+{\sqrt[{3}]{27+3{\sqrt {78}}}}}{3}}\right),\\&{\text{or root of }}2^{x}-1=2^{(2-x)/2}\end{aligned}}}$	1.2108	Límite del dragón gemelo domesticado		Una de las seis fichas de 2 repeticiones en el plano (se puede colocar en mosaico con dos copias de sí mismo, del mismo tamaño). [12] [13]
	1,26	Mapa de Hénon		El mapa canónico de Hénon (con parámetros a  = 1.4 yb  = 0.3) tiene una dimensión de Hausdorff 1.261 ± 0.003. Los diferentes parámetros producen diferentes valores de dimensión.
${\displaystyle \log _{3}(4)}$	1.2619	Triflake		Tres anti-copos de nieve dispuestos de manera que se forme un copo de nieve koch entre los anti-copos de nieve.
${\displaystyle \log _{3}(4)}$	1.2619	Curva de Koch		3 curvas de Koch forman el copo de nieve de Koch o el anticopo de nieve.
${\displaystyle \log _{3}(4)}$	1.2619	límite de la curva de Terdragon		Sistema L: igual que la curva del dragón con ángulo = 30 °. El Fudgeflake se basa en 3 segmentos iniciales colocados en un triángulo.
${\displaystyle \log _{3}(4)}$	1.2619	Polvo de Cantor 2D		Cantor en 2 dimensiones.
${\displaystyle \log _{3}(4)}$	1.2619	2D L-sistema rama		Patrón de ramificación de L-Systems con 4 piezas nuevas escaladas en 1/3. Generar el patrón utilizando una auto-semejanza estadística en lugar de exacta produce la misma dimensión fractal.
Calculado	1.2683	Julia set z 2  - 1		Julia estableció para c  = −1. [8]
	1.3057	Junta apolínea		Comenzando con 3 círculos tangentes, empaquetando repetidamente nuevos círculos en los intersticios complementarios. También el conjunto de límites generado por reflexiones en 4 círculos mutuamente tangentes. Ver [8]
	1.328	5 círculos inversión fractal		El conjunto de límites generado por inversiones iteradas con respecto a 5 círculos mutuamente tangentes (en rojo). También un embalaje apolíneo. Ver [14]
${\displaystyle \log _{5}(9)}$	1.36521 [15]	Isla de von Koch cuadrática usando la curva tipo 1 como generador		También conocida como salchicha de Minkowski
Calculado	1.3934	Conejo Douady		Julia estableció para c  = −0,123 + 0,745i. [8]
${\displaystyle \log _{3}(5)}$	1,4649	Fractal de Vicsek		Construido intercambiando iterativamente cada cuadrado por una cruz de 5 cuadrados.
${\displaystyle \log _{3}(5)}$	1,4649	Curva cuadrática de von Koch (tipo 1)		Se puede reconocer el patrón del fractal de Vicsek (arriba).
${\displaystyle \log _{\sqrt {5}}\left({\frac {10}{3}}\right)}$	1.4961	Cruz cuadric		La cruz cuádrica se hace escalando la unidad generadora de 3 segmentos en 5 1/2 y luego agregando 3 unidades de escala completa, una a cada segmento original, más un tercio de una unidad escalada (azul) para aumentar la longitud del pedestal del unidad inicial de 3 segmentos (violeta). Construido reemplazando cada segmento final con un segmento transversal escalado por un factor de 5 1/2 , que consta de 3 1/3 nuevos segmentos, como se ilustra en el recuadro. Imágenes generadas con Fractal Generator para ImageJ.
${\displaystyle 2-\log _{2}({\sqrt {2}})={\frac {3}{2}}}$	1.5000	una función de Weierstrass :${\displaystyle \displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2^{k}x)}{{\sqrt {2}}^{k}}}}$		La dimensión de Hausdorff de la función de Weierstrass definida por con y es . [16] [17]${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a^{-k}\sin(b^{k}x)}$${\displaystyle 1<a<2}$${\displaystyle b>1}$${\displaystyle 2-\log _{b}(a)}$
${\displaystyle \log _{4}(8)={\frac {3}{2}}}$	1.5000	Curva cuadrática de von Koch (tipo 2)		También llamada "salchicha de Minkowski".
${\displaystyle \log _{2}\left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)}$	1.5236	Límite de la curva del Dragón		cf. Chang y Zhang. [18] [13]
${\displaystyle \log _{2}\left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)}$	1.5236	Límite de la curva de dos dragones		Se puede construir con dos curvas de dragón. Una de las seis fichas de 2 repeticiones en el plano (se puede colocar en mosaico con dos copias de sí mismo, del mismo tamaño). [12]
${\displaystyle \log _{2}(3)}$	1.5850	Árbol de 3 ramas		Cada rama tiene 3 ramas (aquí 90 ° y 60 °). La dimensión fractal de todo el árbol es la dimensión fractal de las ramas terminales. NB: el árbol de 2 ramas tiene una dimensión fractal de solo 1.
${\displaystyle \log _{2}(3)}$	1.5850	Triángulo de Sierpinski		También el triángulo de Pascal módulo 2.
${\displaystyle \log _{2}(3)}$	1.5850	Curva de punta de flecha de Sierpiński		Mismo límite que el triángulo (arriba) pero construido con una curva unidimensional.
${\displaystyle \log _{2}(3)}$	1.5850	Límite del fractal T-cuadrado		La dimensión del fractal en sí (no el límite) es ${\displaystyle \log _{2}(4)=2}$
${\displaystyle \log _{\sqrt[{\varphi }]{\varphi }}(\varphi )=\varphi }$	1,61803	un dragón dorado		Construido a partir de dos similitudes de proporciones y , con . Su dimensión es igual a porque . Con ( Número de oro ).${\displaystyle r}$${\displaystyle r^{2}}$${\displaystyle r=1/\varphi ^{1/\varphi }}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle ({r^{2}})^{\varphi }+r^{\varphi }=1}$${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$
${\displaystyle 1+\log _{3}(2)}$	1.6309	Triángulo de Pascal módulo 3		Para un triángulo módulo k , si k es primo, la dimensión fractal es (cf. Stephen Wolfram [19] ).${\displaystyle \scriptstyle {1+\log _{k}\left({\frac {k+1}{2}}\right)}}$
${\displaystyle 1+\log _{3}(2)}$	1.6309	Hexágono de Sierpinski		Construido a la manera de la alfombra de Sierpinski , sobre una rejilla hexagonal, con 6 similitudes de relación 1/3. El copo de nieve de Koch está presente en todas las escalas.
${\displaystyle 3{\frac {\log(\varphi )}{\log(1+{\sqrt {2}})}}}$	1.6379	Fractal de la palabra de Fibonacci		Fractal basado en la palabra Fibonacci (o secuencia Conejo) Sloane A005614. Ilustración: Curva fractal después de 23 pasos ( F 23  = 28657 segmentos). [20] ( proporción áurea ).${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$
Solución de ${\displaystyle (1/3)^{s}+(1/2)^{s}+(2/3)^{s}=1}$	1.6402	Atractor de IFS con 3 similitudes de proporciones 1/3, 1/2 y 2/3		Generalización: Proporcionar la condición conjunto abierto es titular, el atractor de un sistema de función iterada que consiste en similitudes de proporciones , tiene dimensión de Hausdorff , solución de la ecuación coincidiendo con la función de iteración del factor de contracción euclidiana: . [4]${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c_{k}^{s}=1}$
${\displaystyle \log _{8}(32)={\frac {5}{3}}}$	1,6667	Fractal cuadrático de 32 segmentos (regla de escala 1/8)	ver también: Archivo: Fractal cuadrático de octava escala de 32 segmentos uno.jpg	Generador de fractal cuadrático de 32 segmentos a escala 1/8. Construido escalando el generador de 32 segmentos (ver recuadro) en 1/8 para cada iteración y reemplazando cada segmento de la estructura anterior con una copia escalada de todo el generador. La estructura que se muestra está compuesta por 4 unidades generadoras y se repite 3 veces. La dimensión fractal de la estructura teórica es log 32 / log 8 = 1.6667. Imágenes generadas con Fractal Generator para ImageJ.
${\displaystyle 1+\log _{5}(3)}$	1,6826	Triángulo de Pascal módulo 5		Para un triángulo módulo k , si k es primo, la dimensión fractal es (cf. Stephen Wolfram [19] ).${\displaystyle \scriptstyle {1+\log _{k}\left({\frac {k+1}{2}}\right)}}$
Medido (recuento de cajas)	1,7	Ikeda mapa atractor		Para los parámetros a = 1, b = 0.9, k = 0.4 yp = 6 en el mapa de Ikeda . Se deriva de un modelo del campo de interactividad de onda plana en un láser de anillo óptico. Diferentes parámetros producen diferentes valores. [21]${\displaystyle z_{n+1}=a+bz_{n}\exp \left[i\left[k-p/\left(1+\lfloor z_{n}\rfloor ^{2}\right)\right]\right]}$
${\displaystyle 1+\log _{10}(5)}$	1.6990	Fractal cuadrático de 50 segmentos (regla de escala 1/10)		Construido escalando el generador de 50 segmentos (ver recuadro) en 1/10 para cada iteración y reemplazando cada segmento de la estructura anterior con una copia escalada de todo el generador. La estructura que se muestra está compuesta por 4 unidades generadoras y se repite 3 veces. La dimensión fractal de la estructura teórica es log 50 / log 10 = 1.6990. Imágenes generadas con Fractal Generator para ImageJ [22] . Generador para fractal de 50 segmentos.
${\displaystyle 4\log _{5}(2)}$	1.7227	Fractal de molinete		Construido con los azulejos Pinwheel de Conway.
${\displaystyle \log _{3}(7)}$	1,7712	Fractal de la esfinge		Construido con baldosas de hexiamante Sphinx, eliminando dos de las nueve subesfinges. [23]
${\displaystyle \log _{3}(7)}$	1,7712	Hexaflake		Construido intercambiando iterativamente cada hexágono por un copo de 7 hexágonos. Su límite es el copo de von Koch y contiene una infinidad de copos de nieve de Koch (blancos o negros).
${\displaystyle \log _{3}(7)}$	1,7712	Fractal HI de Rivera		Partiendo de un cuadrado unitario que divide sus dimensiones en tres partes iguales para formar nueve cuadrados auto-similares con el primer cuadrado, se eliminan dos cuadrados del medio (el que está arriba y el que está debajo del cuadrado central) en cada uno de los siete cuadrados no eliminado el proceso se repite, por lo que continúa indefinidamente.
${\displaystyle {\frac {\log(4)}{\log(2+2\cos(85^{\circ }))}}}$	1,7848	Curva de von Koch 85 °		Generalizando la curva de von Koch con un ángulo a elegido entre 0 y 90 °. La dimensión fractal es entonces .${\displaystyle {\frac {\log(4)}{\log(2+2\cos(a))}}\in [1,2]}$
${\displaystyle \log _{2}\left(3^{0.63}+2^{0.63}\right)}$	1.8272	Un conjunto fractal auto- afín		Construya iterativamente a partir de una matriz en un cuadrado, con . Su dimensión de Hausdorff igual a [4] con y es el número de elementos en la ésimo columna. La dimensión de recuento de cajas produce una fórmula diferente, por lo tanto, un valor diferente. A diferencia de los conjuntos auto-similares, la dimensión de Hausdorff de los conjuntos auto-afines depende de la posición de los elementos iterados y, hasta ahora, no existe una fórmula para el caso general.${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle \log _{p}\left(\sum _{k=1}^{p}n_{k}^{a}\right)}$${\displaystyle a=\log _{q}(p)}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle k}$
${\displaystyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}}$	1.8617	Pentaflake		Construido intercambiando iterativamente cada pentágono por una lama de 6 pentágonos. ( proporción áurea ).${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$
solución de ${\displaystyle 6(1/3)^{s}+5{(1/3{\sqrt {3}})}^{s}=1}$	1.8687	Árbol de los monos		Esta curva apareció en "Fractal geometry of Nature" de Benoit Mandelbrot (1983). Se basa en 6 similitudes de razón y 5 similitudes de razón . [24]${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle 1/3{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle \log _{3}(8)}$	1.8928	Alfombra Sierpinski		Cada cara de la esponja Menger es una alfombra Sierpinski, al igual que la superficie inferior de la superficie Koch cuadrática 3D (tipo 1).
${\displaystyle \log _{3}(8)}$	1.8928	Polvo de Cantor 3D		Cantor en 3 dimensiones.
${\displaystyle \log _{3}(4)+\log _{3}(2)={\frac {\log(4)}{\log(3)}}+{\frac {\log(2)}{\log(3)}}={\frac {\log(8)}{\log(3)}}}$	1.8928	Producto cartesiano de la curva de von Koch y el conjunto de Cantor		Generalización: Sea F × G el producto cartesiano de dos conjuntos fractales F y G. Entonces . [4] Ver también el polvo de Cantor 2D y el cubo de Cantor .${\displaystyle \dim _{H}(F\times G)=\dim _{H}(F)+\dim _{H}(G)}$
${\displaystyle 2\log _{2}(x)}$ dónde ${\displaystyle x^{9}-3x^{8}+3x^{7}-3x^{6}+2x^{5}+4x^{4}-8x^{3}+}$${\displaystyle 8x^{2}-16x+8=0}$	1,9340	Límite de la curva de Lévy C		Estimado por Duvall y Keesling (1999). La curva en sí tiene una dimensión fractal de 2.
	2	Baldosas Penrose		Ver Ramachandrarao, Sinha y Sanyal. [25]
${\displaystyle 2}$	2	Límite del conjunto de Mandelbrot		El límite y el conjunto en sí tienen la misma dimensión de Hausdorff. [26]
${\displaystyle 2}$	2	Conjunto de Julia		Para valores determinados de c (incluido c que pertenece al límite del conjunto de Mandelbrot), el conjunto de Julia tiene una dimensión de 2. [26]
${\displaystyle 2}$	2	Curva de Sierpiński		Cada curva de Peano que llena el plano tiene una dimensión de Hausdorff de 2.
${\displaystyle 2}$	2	Curva de Hilbert
${\displaystyle 2}$	2	Curva de Peano		Y una familia de curvas construidas de forma similar, como las curvas de Wunderlich .
${\displaystyle 2}$	2	Curva de Moore		Se puede ampliar en 3 dimensiones.
	2	Curva de Lebesgue o curva de orden z		A diferencia de las anteriores, esta curva de llenado de espacio es diferenciable en casi todas partes. Otro tipo se puede definir en 2D. Al igual que la curva de Hilbert, se puede ampliar en 3D. [27]
${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}(2)=2}$	2	Curva de dragón		Y su límite tiene una dimensión fractal de 1,5236270862. [28]
	2	Curva de terdragon		Sistema L: F  →  F  + F - F, ángulo = 120 °.
${\displaystyle \log _{2}(4)=2}$	2	Curva de Gosper		Su límite es la isla Gosper.
Solución de ${\displaystyle 7({1/3})^{s}+6({1/3{\sqrt {3}}})^{s}=1}$	2	Curva llenando el copo de nieve de Koch		Propuesto por Mandelbrot en 1982, [29] llena el copo de nieve de Koch . Se basa en 7 similitudes de razón 1/3 y 6 similitudes de razón .${\displaystyle 1/3{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle \log _{2}(4)=2}$	2	Tetraedro de Sierpiński		Cada tetraedro se reemplaza por 4 tetraedros.
${\displaystyle \log _{2}(4)=2}$	2	H-fractal		También el árbol de Mandelbrot que tiene un patrón similar.
${\displaystyle {\frac {\log(2)}{\log(2/{\sqrt {2}})}}=2}$	2	Árbol de Pitágoras (fractal)		Cada cuadrado genera dos cuadrados con una tasa de reducción de .${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle \log _{2}(4)=2}$	2	Fractal cruz griega 2D		Cada segmento es reemplazado por una cruz formada por 4 segmentos.
Medido	2,01 ± 0,01	Atractor de Rössler		La dimensión fractal del atractor de Rössler está ligeramente por encima de 2. Para a = 0.1, b = 0.1 yc = 14 se ha estimado entre 2.01 y 2.02. [30]
Medido	2,06 ± 0,01	Atractor de Lorenz		Para parámetros , = 16 y . Véase McGuinness (1983) [31].${\displaystyle \rho =40}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \beta =4}$
${\displaystyle 4+c^{D}+d^{D}=(c+d)^{D}}$	2 <D <2,3	Superficie de la pirámide		Cada triángulo se reemplaza por 6 triángulos, de los cuales 4 triángulos idénticos forman una pirámide con base de diamante y los dos restantes permanecen planos con longitudes y en relación con los triángulos de la pirámide. La dimensión es un parámetro, la auto-intersección se produce para valores superiores a 2,3. [32]${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$
${\displaystyle \log _{2}(5)}$	2.3219	Pirámide fractal		Cada pirámide cuadrada se reemplaza por 5 pirámides cuadradas de la mitad del tamaño. (A diferencia del tetraedro de Sierpinski, que reemplaza cada pirámide triangular con 4 pirámides triangulares de tamaño medio).
${\displaystyle {\frac {\log(20)}{\log(2+\varphi )}}}$	2.3296	Fractal dodecaedro		Cada dodecaedro se reemplaza por 20 dodecaedros. ( proporción áurea ).${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$
${\displaystyle \log _{3}(13)}$	2.3347	Superficie Koch cuadrática 3D (tipo 1)		Ampliación en 3D de la curva cuadrática de Koch (tipo 1). La ilustración muestra la primera (bloque azul), la segunda (más bloques verdes), la tercera (más bloques amarillos) y la cuarta (más bloques claros) iteraciones.
	2.4739	Embalaje de esfera apolínea		El intersticio dejado por las esferas apolíneas. Junta apolínea en 3D. Dimensión calculada por M. Borkovec, W. De Paris y R. Peikert. [33]
${\displaystyle \log _{4}(32)={\frac {5}{2}}}$	2,50	Superficie Koch cuadrática 3D (tipo 2)		Ampliación en 3D de la curva cuadrática de Koch (tipo 2). La ilustración muestra la segunda iteración.
${\displaystyle {\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log({\sqrt {2}}-1)}}}$	2.529	Cubo de jerusalén		La iteración n se construye con 8 cubos de iteración n-1 (en las esquinas) y 12 cubos de iteración n-2 (uniendo las esquinas). La relación de contracción es .${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$
${\displaystyle {\frac {\log(12)}{\log(1+\varphi )}}}$	2.5819	Fractal icosaedro		Cada icosaedro se reemplaza por 12 icosaedros. ( proporción áurea ).${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$
${\displaystyle 1+\log _{2}(3)}$	2.5849	Fractal cruz griega 3D		Cada segmento es reemplazado por una cruz formada por 6 segmentos.
${\displaystyle 1+\log _{2}(3)}$	2.5849	Fractal octaedro		Cada octaedro se reemplaza por 6 octaedros.
${\displaystyle 1+\log _{2}(3)}$	2.5849	superficie von Koch		Cada cara triangular equilátera se corta en 4 triángulos iguales. Usando el triángulo central como base, forma un tetraedro. Reemplace la base triangular con la "tienda" tetraédrica.
${\displaystyle {\frac {\log(3)}{\log(3/2)}}}$	2.7095	Von Koch en 3D		Comience con un poliedro de 6 lados cuyas caras sean triángulos isósceles con lados de proporción 2: 2: 3. Reemplace cada poliedro con 3 copias de sí mismo, 2/3 más pequeñas. [34]
${\displaystyle \log _{3}(20)}$	2.7268	Esponja Menger		Y su superficie tiene una dimensión fractal de , que es la misma que en volumen.${\displaystyle \log _{3}(20)}$
${\displaystyle \log _{2}(8)=3}$	3	Curva de Hilbert 3D		Una curva de Hilbert extendida a 3 dimensiones.
${\displaystyle \log _{2}(8)=3}$	3	Curva de Lebesgue 3D		Una curva de Lebesgue ampliada a 3 dimensiones.
${\displaystyle \log _{2}(8)=3}$	3	Curva de Moore 3D		Una curva de Moore extendida a 3 dimensiones.
${\displaystyle \log _{2}(8)=3}$	3	3D H-fractal		Un H-fractal extendido a 3 dimensiones. [35]
${\displaystyle 3}$ (conjeturado)	3 (por confirmar)	Mandelbulb		Ampliación del conjunto de Mandelbrot (potencia 8) en 3 dimensiones [36] [ ¿fuente no fiable? ]

Fractales aleatorios y naturales

Dimensión de Hausdorff (valor exacto)	Dimensión de Hausdorff (aprox.)	Nombre	Ilustración	Observaciones
1/2	0,5	Ceros de un proceso de Wiener		Los ceros de un proceso de Wiener (movimiento browniano) son un conjunto denso de medida 0 de Lebesgue en ninguna parte con una estructura fractal. [4] [37]
Solución de dónde y${\displaystyle E(C_{1}^{s}+C_{2}^{s})=1}$${\displaystyle E(C_{1})=0.5}$${\displaystyle E(C_{2})=0.3}$	0,7499	un conjunto de Cantor aleatorio con 50% - 30%		Generalización: en cada iteración, la longitud del intervalo izquierdo se define con una variable aleatoria , un porcentaje variable de la longitud del intervalo original. Lo mismo para el intervalo correcto, con una variable aleatoria . Su dimensión de Hausdorff satisface: (donde es el valor esperado de ). [4]${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E(C_{1}^{s}+C_{2}^{s})=1}$${\displaystyle E(X)}$${\displaystyle X}$
Solución de ${\displaystyle s+1=12\cdot 2^{-(s+1)}-6\cdot 3^{-(s+1)}}$	1,144 ...	Curva de von Koch con intervalo aleatorio		La longitud del intervalo medio es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (0,1 / 3). [4]
Medido	1,22 ± 0,02	Costa de Irlanda		Los valores de la dimensión fractal de toda la costa de Irlanda fueron determinados por McCartney, Abernethy y Gault [38] en la Universidad de Ulster y estudiantes de Física Teórica en Trinity College, Dublín , bajo la supervisión de S. Hutzler. [39] Tenga en cuenta que existen marcadas diferencias entre la irregular costa oeste de Irlanda (dimensión fractal de aproximadamente 1,26) y la costa este mucho más suave (dimensión fractal 1,10) [39]
Medido	1,25	Costa de Gran Bretaña		Dimensión fractal de la costa oeste de Gran Bretaña, medida por Lewis Fry Richardson y citada por Benoît Mandelbrot . [40]
${\displaystyle {\frac {\log(4)}{\log(3)}}}$	1.2619	Curva de von Koch con orientación aleatoria		Se introduce aquí un elemento de aleatoriedad que no afecta la dimensión, eligiendo, en cada iteración, colocar el triángulo equilátero por encima o por debajo de la curva. [4]
${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$	1.333	Límite del movimiento browniano		(cf. Mandelbrot, Lawler , Schramm , Werner ). [41]
${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$	1.333	Polímero 2D		Similar al movimiento browniano en 2D sin intersección propia. [42]
${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$	1.333	Frente de percolación en 2D , Frente de corrosión en 2D		Dimensión fractal del frente de percolación por invasión (perímetro accesible), en el umbral de percolación (59,3%). También es la dimensión fractal de un frente de corrosión detenido. [42]
	1,40	Clústeres de clústeres 2D		Cuando están limitados por la difusión, los conglomerados se combinan progresivamente para formar un conglomerado único de dimensión 1.4. [42]
${\displaystyle 2-{\frac {1}{2}}}$	1,5	Gráfico de una función browniana regular ( proceso de Wiener )		Gráfico de una función tal que, para dos reales positivos cualesquiera y , la diferencia de sus imágenes tenga la distribución gaussiana centrada con varianza . Generalización: el movimiento browniano fraccional del índice sigue la misma definición pero con una varianza , en ese caso su dimensión de Hausdorff . [4]${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+h}$${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$${\displaystyle =h}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle =h^{2\alpha }}$${\displaystyle =2-\alpha }$
Medido	1,52	Costa de Noruega		Véase J. Feder. [43]
Medido	1,55	Caminata aleatoria sin intersecciones		Caminata aleatoria para evitar uno mismo en una celosía cuadrada, con una rutina de "retroceso" para evitar callejones sin salida.
${\displaystyle {\frac {5}{3}}}$	1,66	Polímero 3D		Similar al movimiento browniano en una red cúbica, pero sin auto-intersección. [42]
	1,70	Clúster DLA 2D		En 2 dimensiones, los grupos formados por agregación limitada por difusión tienen una dimensión fractal de alrededor de 1,70. [42]
${\displaystyle {\frac {\log(9\cdot 0.75)}{\log(3)}}}$	1.7381	Percolación fractal con 75% de probabilidad		El modelo de percolación fractal se construye mediante el reemplazo progresivo de cada cuadrado por una cuadrícula en la que se coloca una colección aleatoria de subcuadrados, reteniendo cada subcuadrado con probabilidad p . La dimensión "casi segura" de Hausdorff es igual . [4]${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(9p)}{\log(3)}}}$
7/4	1,75	Casco de racimo de percolación 2D		El casco o límite de un grupo de percolación. También puede ser generado por una caminata generadora de casco, [44] o por Schramm-Loewner Evolution.
${\displaystyle {\frac {91}{48}}}$	1.8958	Clúster de percolación 2D		En una red cuadrada, por debajo del umbral de percolación del sitio (59,3%), el grupo de percolación por invasión tiene una dimensión fractal de 91/48. [42] [45] Más allá de ese umbral, el cúmulo es infinito y 91/48 se convierte en la dimensión fractal de los "claros".
${\displaystyle {\frac {\log(2)}{\log({\sqrt {2}})}}=2}$	2	movimiento browniano		O caminar al azar. Las dimensiones de Hausdorff es igual a 2 en 2D, en 3D y en todas las dimensiones mayores (K.Falconer "La geometría de los conjuntos fractales").
Medido	Alrededor de 2	Distribución de cúmulos de galaxias		De los resultados de 2005 de Sloan Digital Sky Survey. [46]
	2.5	Bolas de papel arrugado		Al arrugar hojas de diferentes tamaños pero hechas del mismo tipo de papel y con la misma relación de aspecto (por ejemplo, diferentes tamaños en la serie ISO 216 A), entonces el diámetro de las bolas así obtenido se eleva a un exponente no entero entre 2 y 3 serán aproximadamente proporcionales al área de las hojas de las que se han hecho las bolas. [47] Se formarán pliegues en todas las escalas de tamaño (ver Universalidad (sistemas dinámicos) ).
	2,50	Clúster DLA 3D		En 3 dimensiones, los grupos formados por agregación limitada por difusión tienen una dimensión fractal de alrededor de 2,50. [42]
	2,50	Figura de Lichtenberg		Su aparición y crecimiento parecen estar relacionados con el proceso de agregación limitada por difusión o DLA. [42]
${\displaystyle 3-{\frac {1}{2}}}$	2.5	superficie browniana regular		Una función , da la altura de un punto tal que, para dos incrementos positivos dados y , luego tiene una distribución gaussiana centrada con varianza = . Generalización: la superficie browniana fraccional del índice sigue la misma definición pero con una varianza , en ese caso su dimensión de Hausdorff . [4]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f(x+h,y+k)-f(x,y)}$${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+k^{2}}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle =(h^{2}+k^{2})^{\alpha }}$${\displaystyle =3-\alpha }$
Medido	2.52	Cúmulo de percolación 3D		En una red cúbica, en el umbral de percolación del sitio (31,1%), el cúmulo de percolación por invasión 3D tiene una dimensión fractal de alrededor de 2,52. [45] Más allá de ese umbral, el grupo es infinito.
Medido y calculado	~ 2.7	La superficie del brócoli		San-Hoon Kim utilizó un método de escaneo directo y un análisis de sección transversal de un brócoli para concluir que la dimensión fractal del mismo es ~ 2.7. [48]
	2,79	Superficie del cerebro humano		[49] [ verificación fallida ]
Medido y calculado	~ 2.8	Coliflor		San-Hoon Kim utilizó un método de escaneo directo y un análisis matemático de la sección transversal de una coliflor para concluir que su dimensión fractal es ~ 2.8. [48]
	2,97	Superficie del pulmón		Los alvéolos de un pulmón forman una superficie fractal cercana a 3. [42]
Calculado	${\displaystyle \in (0,2)}$	Cascada multiplicativa		Este es un ejemplo de distribución multifractal . Sin embargo, al elegir sus parámetros de una manera particular, podemos forzar la distribución a convertirse en monofractal. [50] [ se necesita una cita completa ]

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los fractales .

• Dimensión fractal
• Dimensión de Hausdorff
• Invarianza de escala

Notas y referencias

1. Mandelbrot 1982 , p. 15
2. Aurell, Erik (mayo de 1987). "Sobre las propiedades métricas del atractor Feigenbaum". Revista de física estadística . 47 (3–4): 439–458. Código bibliográfico : 1987JSP .... 47..439A . doi : 10.1007 / BF01007519 . S2CID  122213380 .
3. Tsang, KY (1986). "Dimensionalidad de atractores extraños determinada analíticamente". Phys. Rev. Lett . 57 (12): 1390-1393. Código Bibliográfico : 1986PhRvL..57.1390T . doi : 10.1103 / PhysRevLett.57.1390 . PMID 10033437 . 
4. Falconer, Kenneth (1990-2003). Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas . John Wiley & Sons, Ltd. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
5. Damanik, D .; Embree, M .; Gorodetski, A .; Tcheremchantse, S. (2008). "La dimensión fractal del espectro del hamiltoniano de Fibonacci". Comun. Matemáticas. Phys . 280 (2): 499–516. arXiv : 0705.0338 . Código bibliográfico : 2008CMaPh.280..499D . doi : 10.1007 / s00220-008-0451-3 . S2CID 12245755 . 
6. Cherny, A. Yu; Anitas, EM; Kuklin, AI; Balasoiu, M .; Osipov, VA (2010). "La dispersión de los fractales de Cantor generalizados". J. Appl. Crystallogr . 43 (4): 790–7. arXiv : 0911.2497 . doi : 10.1107 / S0021889810014184 . S2CID 94779870 . 
7. Mandelbrot, Benoit (2002). Autoafinidad gaussiana y fractales . ISBN 978-0-387-98993-8.
8. McMullen, Curtis T. (3 de octubre de 1997). " Dimensión de Hausdorff y dinámica conforme III: Cálculo de la dimensión ", Abel.Math.Harvard.edu . Consultado: 27 de octubre de 2018.
9. Messaoudi, Ali. Frontième de numération complexe ", matwbn.icm.edu.pl . (En francés) Acceso: 27 de octubre de 2018.
10. Lothaire, M. (2005), combinatoria aplicada en palabras , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 105 , Cambridge University Press , p. 525 , ISBN 978-0-521-84802-2, MR  2165687 , Zbl  1133.68067
11. Weisstein, Eric W. "Isla Gosper" . MathWorld . Consultado el 27 de octubre de 2018 .
12. Ngai, Sirvent, Veerman y Wang (octubre de 2000). " On 2-Reptiles in the Plane 1999 ", Geometriae Dedicata , Volumen 82. Consultado: 29 de octubre de 2018.
13. Duda, Jarek (marzo de 2011). " El límite de los sistemas de funciones iteradas periódicas ", Wolfram.com .
14. Chang, Angel y Zhang, Tianrong. "Sobre la estructura fractal del límite de la curva del dragón" . Archivado desde el original el 14 de junio de 2011 . Consultado el 9 de febrero de 2019 . pdf
15. Mandelbrot, BB (1983). La geometría fractal de la naturaleza , p. 48. Nueva York: WH Freeman. ISBN 9780716711865 . Citado en: Weisstein, Eric W. "Minkowski Sausage" . MathWorld . Consultado el 22 de septiembre de 2019 . 
16. Shen, Weixiao (2018). "Dimensión de Hausdorff de los gráficos de las funciones clásicas de Weierstrass". Mathematische Zeitschrift . 289 (1–2): 223–266. arXiv : 1505.03986 . doi : 10.1007 / s00209-017-1949-1 . ISSN 0025-5874 . S2CID 118844077 .  
17. N. Zhang. La dimensión de Hausdorff de las gráficas de funciones fractales. (En chino). Tésis de maestría. Universidad de Zhejiang, 2018.
18. Dimensión fractal del límite del fractal del dragón
19. Dimensión fractal del triángulo de Pascal módulo k
20. La palabra fractal de Fibonacci
21. Theiler, James (1990). "Estimación de la dimensión fractal" (PDF) . J. Opt. Soc. Soy. Una . 7 (6): 1055–73. Código bibliográfico : 1990JOSAA ... 7.1055T . doi : 10.1364 / JOSAA.7.001055 .
22. Generador fractal para ImageJ Archivado el 20 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
23. W. Trump, G. Huber, C. Knecht, R. Ziff, que se publicará
24. Curva fractal del árbol de los monos Archivado el 21 de septiembre de 2002 en archive.today
25. Dimensión fractal de un mosaico de Penrose
26. Shishikura, Mitsuhiro (1991). "La dimensión de Hausdorff del límite del conjunto de Mandelbrot y conjuntos de Julia". arXiv : matemáticas / 9201282 .
27. Variantes de la curva de Lebesgue
28. Duda, Jarek (2008). "Sistemas complejos de numeración de base". arXiv : 0712.1309v3 [ math.DS ].
29. Seuil (1982). Penser les mathématiques . ISBN 2-02-006061-2.
30. Fractales y el atractor de Rössler
31. McGuinness, MJ (1983). "La dimensión fractal del atractor de Lorenz". Letras de física . 99A (1): 5–9. Código bibliográfico : 1983PhLA ... 99 .... 5M . doi : 10.1016 / 0375-9601 (83) 90052-X .
32. Lowe, Thomas (24 de octubre de 2016). "Tres superficies de dimensión variable" . ResearchGate .
33. La dimensión fractal del embalaje de la esfera apolínea Archivado el 6 de mayo de 2016 en la Wayback Machine.
34. [1]
35. Hou, B .; Xie, H .; Wen, W .; Sheng, P. (2008). "Fractales metálicos tridimensionales y sus características de cristal fotónico" (PDF) . Phys. Rev. B . 77 (12): 125113. bibcode : 2008PhRvB..77l5113H . doi : 10.1103 / PhysRevB.77.125113 .
36. Dimensión de Hausdorff del Mandelbulb
37. Peter Mörters, Yuval Peres, Oded Schramm, "Movimiento browniano", Cambridge University Press, 2010
38. McCartney, Mark; Abernethya, Gavin; Gaulta, Lisa (24 de junio de 2010). "La dimensión divisoria de la costa irlandesa". Geografía irlandesa . 43 (3): 277–284. doi : 10.1080 / 00750778.2011.582632 .
39. Hutzler, S. (2013). "Fractal Irlanda" . Science Spin . 58 : 19-20 . Consultado el 15 de noviembre de 2016 .(Véase la página de contenido , archivado el 26 de julio de 2013)
40. ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autosemejanza estadística y dimensión fraccionaria , B. Mandelbrot
41. Lawler, Gregory F .; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2001). "La dimensión de la frontera planar browniana es 4/3". Matemáticas. Res. Lett . 8 (4): 401–411. arXiv : matemáticas / 0010165 . Bibcode : 2000math ..... 10165L . doi : 10.4310 / MRL.2001.v8.n4.a1 . S2CID 5877745 . 
42. Sapoval, Bernard (2001). Universalités et fractales . Flammarion-Champs. ISBN 2-08-081466-4.
43. Feder, J., "Fractales", Plenum Press, Nueva York, (1988).
44. Caminatas generadoras de cascos
45. M Sahini; M Sahimi (2003). Aplicaciones de la teoría de la percolación . Prensa CRC. ISBN 978-0-203-22153-2.
46. Propiedades básicas de la agrupación de galaxias a la luz de los resultados recientes del Sloan Digital Sky Survey
47. "Relaciones de la ley de potencia" . Yale. Archivado desde el original el 28 de junio de 2010 . Consultado el 29 de julio de 2010 .
48. Kim, Sang-Hoon (2 de febrero de 2008). "Dimensiones fractales de un brócoli verde y una coliflor blanca". arXiv : cond-mat / 0411597 .
49. Dimensión fractal de la superficie del cerebro humano
50. [Meakin (1987)]

Lectura adicional

• Mandelbrot, Benoît (1982). La geometría fractal de la naturaleza . WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
• Peitgen, Heinz-Otto (1988). Saupe, Dietmar (ed.). La ciencia de las imágenes fractales . Springer Verlag. ISBN 0-387-96608-0.
• Barnsley, Michael F. (1 de enero de 1993). Fractales en todas partes . Morgan Kaufmann. ISBN 0-12-079061-0.
• Sapoval, Bernard; Mandelbrot, Benoît B. (2001). Universalités et fractales: jeux d'enfant ou délits d'initié? . Flammarion-Champs. ISBN 2-08-081466-4.

Enlaces externos

• Los fractales en Mathworld
• Otros fractales en el sitio web de Paul Bourke
• Galería de Soler
• Fractales en mathcurve.com
• 1000fractales.free.fr - Proyecto de recopilación de fractales creados con varios programas
• Fractales desatados
• IFStile: software que calcula la dimensión del límite de mosaicos autoafinados