La constante de empaquetamiento de un cuerpo geométrico es la densidad promedio más grande lograda mediante arreglos de empaquetamiento de copias congruentes del cuerpo. Para la mayoría de los cuerpos, se desconoce el valor de la constante de empaquetamiento. [1] La siguiente es una lista de cuerpos en espacios euclidianos cuya constante de empaquetamiento se conoce. [1] Fejes Tóth demostró que en el plano, un cuerpo simétrico puntual tiene una constante de empaquetamiento que es igual a su constante de empaquetamiento de traslación y su constante de empaquetamiento de celosía . [2] Por lo tanto, cualquier cuerpo para el que se conocía previamente la constante de empaquetamiento de celosía, como cualquier elipse, por lo tanto tiene una constante de empaquetamiento conocida. Además de estos cuerpos, se conocen casi con exactitud las constantes de empaquetamiento de las hiperesferas en 8 y 24 dimensiones. [3]
Imagen | Descripción | Dimensión | Constante de embalaje | Comentarios |
---|---|---|---|---|
Todas las formas que embaldosan el espacio | todas | 1 | Por definición | |
Círculo , Elipse | 2 | π / √ 12 ≈ 0.906900 | Prueba atribuida a Thue [4] | |
Octágono suavizado | 2 | Reinhardt [5] | ||
Todos los polígonos convexos simétricos de 2 pliegues | 2 | Algoritmo de tiempo lineal (en número de vértices) proporcionado por Mount y Ruth Silverman [6] | ||
Esfera | 3 | π / √ 18 ≈ 0,7404805 | Ver la conjetura de Kepler | |
Cilindro bi-infinito | 3 | π / √ 12 ≈ 0.906900 | Bezdek y Kuperberg [7] | |
Todas las formas contenidas en un dodecaedro rómbico cuya esfera inscrita está contenida en la forma | 3 | Fracción del volumen del dodecaedro rómbico llenado por la forma | Corolario de la conjetura de Kepler . Ejemplos en la foto: rombicuboctaedro y eneacontaedro rómbico . | |
Hiperesfera | 8 | Consulte Empaquetado de hiperesfera [8] [9] | ||
Hiperesfera | 24 | Ver embalaje de hiperesfera |
Referencias
- ^ a b Bezdek, András; Kuperberg, Włodzimierz (2010). "Empaquetamiento denso de espacio con varios sólidos convexos". arXiv : 1008.2398v1 [ math.MG ].
- ^ Fejes Tóth, László (1950). "Algunos teoremas de empaque y cobertura". Acta Sci. Matemáticas. Szeged . 12 .
- ^ Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2009). "Optimidad y singularidad de la celosía Leech entre celosías". Annals of Mathematics . 170 (3): 1003–1050. arXiv : matemáticas.MG / 0403263 . doi : 10.4007 / annals.2009.170.1003 .
- ^ Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010). "Una prueba simple del teorema de Thue sobre el empaquetado circular". arXiv : 1009.4322v1 [ math.MG ].
- ^ Reinhardt, Karl (1934). "Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruente Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven". Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo . 10 : 216–230. doi : 10.1007 / bf02940676 .
- ^ Mount, David M .; Silverman, Ruth (1990). "Embalaje y recubrimiento del plano con traslados de un polígono convexo". Revista de algoritmos . 11 (4): 564–580. doi : 10.1016 / 0196-6774 (90) 90010-C .
- ^ Bezdek, András; Kuperberg, Włodzimierz (1990). "Empaquetadura espacial de máxima densidad con cilindros circulares congruentes de longitud infinita". Mathematika . 37 : 74–80. doi : 10.1112 / s0025579300012808 .
- ^ Klarreich, Erica (30 de marzo de 2016), "Empaque de esferas resuelto en dimensiones superiores" , Revista Quanta
- ^ Viazovska, Maryna (2016). "El problema del empaquetamiento de esferas en dimensión 8". Annals of Mathematics . 185 (3): 991–1015. arXiv : 1603.04246 . doi : 10.4007 / annals.2017.185.3.7 .