Dodecaedro rómbico | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Sólido catalán |
Diagrama de Coxeter | |
Notación de Conway | jC |
Tipo de cara | V3.4.3.4 rombo |
Caras | 12 |
Bordes | 24 |
Vértices | 14 |
Vértices por tipo | 8 {3} +6 {4} |
Grupo de simetría | O h , B 3 , [4,3], (* 432) |
Grupo de rotacion | O, [4,3] + , (432) |
Ángulo diedro | 120 ° |
Propiedades | convexo, isoédrico transitivo de cara , isotoxal , paraleloedro |
Cuboctaedro ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , el dodecaedro rómbico es un poliedro convexo con 12 caras rómbicas congruentes . Tiene 24 aristas y 14 vértices de 2 tipos. Es un sólido catalán , y el poliedro dual del cuboctaedro .
Propiedades
El dodecaedro rómbico es un zonoedro . Su dual poliédrico es el cuboctaedro . La longitud de la diagonal de la cara larga es exactamente √ 2 veces la longitud de la diagonal de la cara corta; así, los ángulos agudos en cada cara miden arcos (1/3), o aproximadamente 70,53 °.
Al ser el dual de un poliedro de Arquímedes , el dodecaedro rómbico es transitivo de caras , lo que significa que el grupo de simetría del sólido actúa de manera transitiva en su conjunto de caras. En términos elementales, esto significa que para dos caras A y B cualesquiera, hay una rotación o reflejo del sólido que lo deja ocupando la misma región del espacio mientras se mueve la cara A a la B.
El dodecaedro rómbico puede verse como el casco convexo de la unión de los vértices de un cubo y un octaedro. Los 6 vértices donde se encuentran 4 rombos corresponden a los vértices del octaedro , mientras que los 8 vértices donde se encuentran 3 rombos corresponden a los vértices del cubo .
El dodecaedro rómbico es uno de los nueve poliedros convexos de borde transitivo , siendo los otros los cinco sólidos platónicos , el cuboctaedro , el icosidodecaedro y el triacontaedro rómbico .
El dodecaedro rómbico se puede utilizar para teselar un espacio tridimensional: se puede apilar para llenar un espacio, de forma muy similar a como los hexágonos llenan un plano.
Este poliedro en una teselación que llena el espacio se puede ver como la teselación de Voronoi de la celosía cúbica centrada en las caras . Es la zona de Brillouin de cristales cúbicos centrados en el cuerpo (bcc). Algunos minerales como el granate forman un hábito cristalino rombododecaédrico . Como señaló Johannes Kepler en su libro de 1611 sobre copos de nieve ( Strena seu de Nive Sexangula ), las abejas utilizan la geometría de los dodecaedros rómbicos para formar panales a partir de una teselación de células, cada una de las cuales es un prisma hexagonal cubierto con medio dodecaedro rómbico. El dodecaedro rómbico también aparece en las celdas unitarias de diamante y diamondoides . En estos casos, no hay cuatro vértices (alternos triples), pero los enlaces químicos se encuentran en los bordes restantes. [1]
La gráfica del dodecaedro rómbico es no hamiltoniana .
Un dodecaedro rómbico se puede disecar en 4 trapezoedros trigonales obtusos alrededor de su centro. Estos romboedros son las células de un panal trapezoédrico trigonal . Analogía: un hexágono regular se puede disecar en 3 rombos alrededor de su centro. Estos rombos son los azulejos de un rhombille .
Las colecciones del Louvre incluyen un dado en forma de dodecahdron rómbico que data del Egipto ptolemaico . Las caras están inscritas con letras griegas que representan los números del 1 al 12: Α Β Γ Δ Ε Ζ Ϛ Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Se desconoce la función del dado. [2]
Dodecaedro rómbico
Hexágono disecado rómbico
Un cristal granate
Esta animación muestra la construcción de un dodecaedro rómbico a partir de un cubo, al invertir las pirámides de la cara central de un cubo.
Dimensiones
Denotando por a la longitud del borde de un dodecaedro rómbico,
- el radio de su esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del dodecaedro rómbico) es
- ( OEIS : A157697 ),
- el radio de su esfera media es
- ( OEIS : A179587 ),
- el radio de la esfera que pasa a través de los vértices de orden 4 de seis, pero no a través de los vértices de orden 3 de ocho, es
- ( OEIS : A020832 ).
Área y volumen
El área A y el volumen V del dodecaedro rómbico con una longitud de borde a son:
Proyecciones ortogonales
El dodecaedro rómbico tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales a lo largo de sus ejes de simetría , centradas en una cara, un borde y los dos tipos de vértice, triple y cuádruple. Los dos últimos corresponden a los planos Coxeter B 2 y A 2 .
Simetría proyectiva | [4] | [6] | [2] | [2] |
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rómbica dodecaedro | ||||
Cuboctaedro (dual) |
Coordenadas cartesianas
Variaciones del piritoedro entre un cubo y un dodecaedro rómbico | Expansión de un dodecaedro rómbico |
Los ocho vértices donde se encuentran tres caras en sus ángulos obtusos tienen coordenadas cartesianas :
- (± 1, ± 1, ± 1)
Las coordenadas de los seis vértices donde cuatro caras se encuentran en sus ángulos agudos son:
- (± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0) y (0, 0, ± 2)
El dodecaedro rómbico puede verse como un caso límite degenerado de un piritoedro , con permutación de coordenadas (± 1, ± 1, ± 1) y (0, 1 + h , 1 - h 2 ) con parámetro h = 1.
Formas topológicamente equivalentes
Paraleloedro
El dodecaedro rómbico es un paraleloedro , un poliedro que llena el espacio , el dodecaedro , que es el dual del tetroctaedro o panal semicúbico , y se describe mediante dos diagramas de Coxeter : y . Con simetría D 3d , puede verse como un trapezoedro trigonal alargado .
El dodecaedro rómbico puede teselar el espacio mediante copias traslacionales de sí mismo . También puede hacerlo el dodecaedro rómbico estrellado . | El dodecaedro rómbico se puede construir con 4 conjuntos de bordes paralelos. |
Dodecaedro romboidal diedro
Otras construcciones de simetría del dodecaedro rómbico también llenan el espacio, y como paraleótopos son similares a las variaciones de octaedros truncados que llenan el espacio . [3]
Por ejemplo, con 4 caras cuadradas, y caras rómbicas de 60 grados, y simetría diédrica D 4h , orden 16. Puede verse como un cuboctaedro con pirámides cuadradas aumentadas en la parte superior e inferior.
Neto | Coordenadas
|
Dodecaedro Bilinski
Dodecaedro Bilinski con aristas y caras frontales coloreadas por sus posiciones de simetría. | Dodecaedro de Bilinski coloreado por bordes paralelos |
En 1960, Stanko Bilinski descubrió un segundo dodecaedro rómbico con 12 caras de rombos congruentes, el dodecaedro de Bilinski . Tiene la misma topología pero diferente geometría. Las caras rómbicas en esta forma tienen la proporción áurea . [4] [5]
Primera forma | Segunda forma |
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√ 2 : 1 | √ 5 + 1/2: 1 |
Dodecaedro deltoidal
Otra variación topológicamente equivalente, a veces llamada dodecaedro deltoidal [6] o dodecaedro trapezoidal , [7] [8] es isoédrico con simetría tetraédrica de orden 24, distorsionando las caras rómbicas en cometas (deltoides). Tiene 8 vértices ajustados hacia adentro o hacia afuera en conjuntos alternos de 4, con el caso límite una envoltura tetraédrica. Las variaciones pueden ser parametrizada por ( un , b ), donde b y una dependen unos de otros de tal manera que el tetraedro definido por los cuatro vértices de una cara tiene un volumen cero, es decir, es una cara plana. (1,1) es la solución rómbica. A medida que ( a ) se acerca 1/2, ( b ) se acerca al infinito. Siempre aguanta 1/a + 1/B = 2, con a, b> 1/2.
- (± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0), (0, 0, ± 2)
- ( a , a , a ), (- a , - a , a ), (- a , a , - a ), ( a , - a , - a )
- (- b , - b , - b ), (- b , b , b ), ( b , - b , b ), ( b , b , - b )
(1,1) | ( 7/8, 7/6) | ( 3/4, 3/2) | ( 2/3, 2) | ( 5/8, 5/2) | ( 9/dieciséis, 9/2) |
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Poliedros relacionados
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
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Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {3 1,1 } | t {3,4} t {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h 2 {4,3} t {3,3} | s {3,4} s {3 1,1 } |
= | = | = | = o | = o | = | |||||
Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Cuando se proyecta sobre una esfera (ver a la derecha), se puede ver que los bordes forman los bordes de dos tetraedros dispuestos en sus posiciones duales (la estela octangula). Esta tendencia continúa con el icositetraedro deltoidal y el hexecontaedro deltoidal para los emparejamientos duales de los otros poliedros regulares (junto con la bipirámide triangular si se deben considerar teselaciones inadecuadas), dando a esta forma el nombre sistemático alternativo de dodecaedro deltoidal .
Simetría * n 32 [n, 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paraco. | ||||
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* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | |
Figura Config. | V3.4.2.4 | V3.4.3.4 | V3.4.4.4 | V3.4.5.4 | V3.4.6.4 | V3.4.7.4 | V3.4.8.4 | V3.4.∞.4 |
Este poliedro es parte de una secuencia de poliedros rómbicos y teselaciones con simetría de grupo Coxeter [ n , 3] . El cubo puede verse como un hexaedro rómbico donde los rombos son cuadrados.
Mutaciones de simetría de teselaciones cuasirregulares duales: V (3.n) 2 | |||||||||||
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* n32 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |||||
Embaldosado | |||||||||||
Conf. | V (3,3) 2 | V (3,4) 2 | V (3,5) 2 | V (3,6) 2 | V (3,7) 2 | V (3,8) 2 | V (3.∞) 2 |
* n 42 mutaciones de simetría de teselaciones dobles cuasirregulares: V (4.n) 2 | |||||||||||
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Simetría * 4n2 [n, 4] | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
* 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | [iπ / λ, 4] | ||||
Tiling Conf. | V4.3.4.3 | V4.4.4.4 | V4.5.4.5 | V4.6.4.6 | V4.7.4.7 | V4.8.4.8 | V4.∞.4.∞ | V4.∞.4.∞ |
De manera similar se relaciona con la serie infinita de teselaciones con las configuraciones de caras V3.2 n .3.2 n , la primera en el plano euclidiano y el resto en el plano hiperbólico.
V3.4.3.4 (Dibujado como una red ) | V3.6.3.6 Azulejos planos euclidianos Azulejos Rhombille | V3.8.3.8 Mosaico plano hiperbólico (Dibujado en un modelo de disco de Poincaré ) |
Stellations
Como muchos poliedros convexos, el dodecaedro rómbico se puede estrellar extendiendo las caras o los bordes hasta que se unan para formar un nuevo poliedro. Dorman Luke ha descrito varias estelaciones de este tipo. [9]
La primera estelación, a menudo llamada simplemente dodecaedro rómbico estrellado , es bien conocida. Puede verse como un dodecaedro rómbico con cada cara aumentada uniéndole una pirámide de base rómbica, con una altura de pirámide tal que los lados queden en los planos de las caras vecinas:
La primera estelación del dodecaedro rómbico.
Modelo 3D de descomposición en 12 pirámides y 4 medios cubos.
Lucas describe cuatro estelaciones más: la segunda y tercera estelas (que se expanden hacia afuera), una formada quitando la segunda de la tercera, y otra agregando el dodecaedro rómbico original al anterior.
Segundo | Tercero |
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Dodecaedro rombo estrellado | Gran dodecaedro rombo estrellado |
Politopos relacionados
El dodecaedro rómbico forma el casco de la proyección del primer vértice de un tesseract en tres dimensiones. Hay exactamente dos formas de descomponer un dodecaedro rómbico en cuatro romboedros congruentes , dando ocho romboedros posibles como proyecciones de los teseractos de 8 células cúbicas. Un conjunto de vectores proyectivos son: u = (1,1, -1, -1), v = (- 1,1, -1,1), w = (1, -1, -1,1).
El dodecaedro rómbico forma la sección transversal máxima de una celda de 24 , y también forma el casco de su proyección paralela del primer vértice en tres dimensiones. El dodecaedro rómbico se puede descomponer en seis bipirámides cuadradas congruentes (pero no regulares) que se encuentran en un solo vértice en el centro; estos forman las imágenes de seis pares de celdas octaédricas de 24 celdas. Las 12 celdas octaédricas restantes se proyectan sobre las caras del dodecaedro rómbico. La irregularidad de estas imágenes se debe a la distorsión proyectiva; las facetas de las 24 celdas son octaedros regulares en 4 espacios.
Esta descomposición proporciona un método interesante para construir el dodecaedro rómbico: corte un cubo en seis pirámides cuadradas congruentes y adjúntelas a las caras de un segundo cubo. Las caras triangulares de cada par de pirámides adyacentes se encuentran en el mismo plano y, por lo tanto, se fusionan en rombos. Las 24 celdas también se pueden construir de forma análoga utilizando dos tesseracts . [10]
Uso practico
En el diseño de la rueda de reacción de la nave espacial , se usa comúnmente una configuración tetraédrica de cuatro ruedas. Para ruedas que funcionan por igual (desde un punto de vista de par máximo y momento angular máximo) en ambas direcciones de giro y en las cuatro ruedas, el par máximo y las envolventes de momento máximo para el sistema de control de actitud de 3 ejes (considerando actuadores idealizados) se dan proyectando el tesseract que representa los límites del par de torsión o impulso de cada rueda en el espacio 3D a través de la matriz 3 × 4 de los ejes de las ruedas; el poliedro 3D resultante es un dodecaedro rómbico. [11] Tal disposición de ruedas de reacción no es la única configuración posible (una disposición más simple consiste en tres ruedas montadas para girar sobre ejes ortogonales), pero es ventajoso al proporcionar redundancia para mitigar la falla de una de las cuatro ruedas (con rendimiento general degradado disponible de las tres ruedas activas restantes) y al proporcionar una envolvente más convexa que un cubo, lo que conduce a una menor dependencia de la agilidad en la dirección del eje (desde el punto de vista del actuador / planta). Las propiedades de masa de la nave espacial influyen en el impulso y la agilidad del sistema en general, por lo que la disminución de la varianza en el límite de la envolvente no necesariamente conduce a una mayor uniformidad en los sesgos del eje preferido (es decir, incluso con un límite de rendimiento perfectamente distribuido dentro del subsistema del actuador, los ejes de rotación preferidos no son necesariamente arbitrarios a nivel del sistema).
Galería de arte
Dodecaedro rómbico giratorio
Una animación con trazado de rayos de un dodecaedro rómbico giratorio y su estructura alámbrica.
Ver también
- Dodecaedro
- Triacontaedro rómbico
- Dodecaedro rómbico truncado
- 24 celdas - análogo 4D del dodecaedro rómbico
- Sistemas constructivos de Arquímedes
- Dodecaedro rómbico completamente truncado
Referencias
- ^ Hábito de cristal dodecaédrico Archivado el 12 de abril de 2009 en la Wayback Machine . khulsey.com
- ^ Perdrizet, Paul. (1930). "Le jeu alexandrin de l'icosaèdre". Bulletin de l'Institut français d'archéologie orientale . 30 : 1-16.
- ↑ Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.56-57
- ^ Branko Grünbaum (2010). "El dodecaedro Bilinski y una variedad de paralelosedros, zonoedros, monoedros, isozonoedros y otrosedros" (PDF) . 32 (4): 5–15. Archivado desde el original (PDF) el 2 de abril de 2015. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ HSM Coxeter, "Politopos regulares", publicaciones de Dover, 1973.
- ^ Mineralogía económica: una guía práctica para el estudio de minerales útiles , p.8
- ^ http://mathworld.wolfram.com/Isohedron.html
- ^ http://loki3.com/poly/transforms.html
- ^ Luke, D. (1957). "Estelaciones del dodecaedro rómbico". La Gaceta Matemática . 41 (337): 189-194. doi : 10.2307 / 3609190 . JSTOR 3609190 .
- ^ https://www.youtube.com/watch?v=oJ7uOj2LRso
- ^ Markley, F. Landis (septiembre de 2010). "Envolventes de momento y par máximo para matrices de ruedas de reacción" . ntrs.nasa.gov . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
Otras lecturas
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983). Modelos duales . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi : 10.1017 / CBO9780511569371 . ISBN 978-0-521-54325-5. Señor 0730208 . (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 19, dodecaedro rómbico)
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Catalán, p. 285, Dodecaedro rómbico)
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , dodecaedro rómbico ( sólido catalán ) en MathWorld .
- Poliedros de realidad virtual - La enciclopedia de poliedros
Modelos de computadora
- Relacionar una triacontaedro rómbico y una rombal dodecaedro , rombal Dodecahedron 5-Compuesto y rombal Dodecahedron 5-Compuesto por Sándor Kabai, El Proyecto de Demostración Wolfram .
Proyectos de papel
- Calendario con dodecaedro rómbico: haga un calendario con dodecaedro rómbico sin pegamento
- Otro calendario dodecaedro rómbico , hecho trenzando tiras de papel
Aplicaciones prácticas
- Archimede Institute Ejemplos de proyectos de construcción de viviendas reales que utilizan esta geometría