El octágono suavizado es una región en el plano encontrada por Karl Reinhardt en 1934 y conjeturada por él que tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja del plano de todas las formas convexas simétricas centralmente . [1] También fue descubierto independientemente por Kurt Mahler en 1947. [2] Se construye reemplazando las esquinas de un octágono regular con una sección de una hipérbola que es tangente a los dos lados adyacentes a la esquina y asintótica a los lados. adyacente a estos.
Construcción
La forma del octágono suavizado se puede derivar de sus empaquetaduras, que colocan octágonos en los puntos de una celosía triangular. El requisito de que estos empaques tengan la misma densidad sin importar cómo se giren entre sí la celosía y el octágono suavizado, con formas que permanezcan en contacto con cada forma vecina, se puede utilizar para determinar la forma de las esquinas. Una de las figuras muestra tres octágonos que giran mientras el área del triángulo formado por sus centros permanece constante, manteniéndolos empaquetados lo más cerca posible. Para octágonos regulares, las formas roja y azul se superpondrían, por lo que para permitir que la rotación continúe, las esquinas se recortan a un punto que se encuentra a medio camino entre sus centros, generando la curva requerida, que resulta ser una hipérbola.
La hipérbola se construye tangente a dos lados del octágono y asintótica a los dos adyacentes a estos. Los siguientes detalles se aplican a un octágono regular de circunradio con su centro en el punto y un vértice en el punto . Por dos constantes y , la hipérbola viene dada por la ecuación
para la parte de la hipérbola que forma la esquina, dada por el rango de valores de los parámetros
Las líneas del octágono tangente a la hipérbola son , y las líneas asintóticas a la hipérbola son simplemente .
Embalaje
El octágono suavizado tiene una densidad de empaquetamiento máxima dada por [3]
Esto es menor que la densidad máxima de empaquetamiento de círculos , que es
La densidad de empaquetamiento máxima conocida del octágono regular ordinario es
¿Es el octágono suavizado la forma centralmente simétrica con la densidad de empaquetamiento máxima más baja?
El octágono suavizado alcanza su máxima densidad de empaque, no solo para un solo empaque, sino para una familia de 1 parámetro. Todos estos son empaquetaduras de celosía . La conjetura de Reinhardt de que el octágono suavizado tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja de todas las formas convexas simétricas centralmente en el plano permanece sin resolver. Si no se requiere simetría central, el heptágono regular tiene una densidad de empaquetamiento aún menor, pero tampoco se ha demostrado su optimización. En tres dimensiones, la conjetura de empaquetamiento de Ulam establece que ninguna forma convexa tiene una densidad máxima de empaquetamiento menor que la bola. [5]
Referencias
- ^ Reinhardt, K. (1934). "Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven". Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo . 10 : 216–230.
- ^ Mahler, Kurt (1947). "Sobre el determinante mínimo y los hexágonos circunscritos de un dominio convexo" (PDF) . Proc. Kon. Ned. Akad. Mojado . 50 : 692-703.
- ^ Weisstein, Eric W. "Octágono suavizado" . MathWorld .
- ^ Atkinson, Steven; Jiao, Yang; Torquato, Salvatore (10 de septiembre de 2012). "Empaquetaduras de máxima densidad de partículas bidimensionales convexas y cóncavas no circulares" (PDF) . Revisión E física . 86 (3): 031302. arXiv : 1405.0245 . Código bibliográfico : 2012PhRvE..86c1302A . doi : 10.1103 / physreve.86.031302 . PMID 23030907 . Archivado desde el original (PDF) el 24 de agosto de 2014.
- ^ Kallus, Yoav; Kusner, Wöden (2016). "La optimización local del embalaje de doble celosía". Geometría discreta y computacional . 56 (2): 449–471. arXiv : 1509.02241 . doi : 10.1007 / s00454-016-9792-4 . Señor 3530975 .
enlaces externos
- ¿El empaque bidimensional más delgado y denso? . Peter Scholl, 2001.