teorema de desargues
Denota los tres vértices de un triángulo por a , b y c , y los del otro por A , B y C . La perspectiva axial significa que las líneas ab y AB se encuentran en un punto, las líneas ac y AC se encuentran en un segundo punto, y las líneas bc y BC se encuentran en un tercer punto, y que estos tres puntos se encuentran en una línea común llamada eje de perspectiva. . Perspectividad central significa que las tres líneas Aa ,Bb y Cc son concurrentes, en un punto llamadocentro de perspectiva.
Este teorema de intersección es cierto en el plano euclidiano habitual, pero se debe tener especial cuidado en casos excepcionales, como cuando un par de lados son paralelos, de modo que su "punto de intersección" retrocede hasta el infinito. Comúnmente, para eliminar estas excepciones, los matemáticos "completan" el plano euclidiano agregando puntos en el infinito, siguiendo a Jean-Victor Poncelet . Esto da como resultado un plano proyectivo .
El teorema de Desargues es cierto para el plano proyectivo real y para cualquier espacio proyectivo definido aritméticamente a partir de un campo o anillo de división ; que incluye cualquier espacio proyectivo de dimensión mayor que dos o en el que se cumple el teorema de Pappus . Sin embargo, hay muchos " planos no desarguesianos ", en los que el teorema de Desargues es falso.
Desargues nunca publicó este teorema, pero apareció en un apéndice titulado Método universal de M. Desargues para el uso de la perspectiva ( Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspectiva ) de un libro práctico sobre el uso de la perspectiva publicado en 1648. [1] por su amigo y alumno Abraham Bosse (1602-1676). [2]
La importancia del teorema de Desargues en geometría proyectiva abstracta se debe especialmente al hecho de que un espacio proyectivo satisface ese teorema si y sólo si es isomorfo a un espacio proyectivo definido sobre un campo o anillo de división.
En un espacio afín como el plano euclidiano, una declaración similar es verdadera, pero solo si se enumeran varias excepciones que involucran líneas paralelas. El teorema de Desargues es, por lo tanto, uno de los teoremas geométricos más simples cuyo hogar natural está en el espacio proyectivo más que en el afín.
