Teorema de picard
En el análisis complejo , el gran teorema de Picard y el pequeño teorema de Picard son teoremas relacionados sobre el rango de una función analítica . Llevan el nombre de Émile Picard .
Teorema de Little Picard: Si una función f : C → C es completa y no constante, entonces el conjunto de valores que asume f ( z ) es el plano complejo completo o el plano menos un solo punto.
Bosquejo de la prueba: la prueba original de Picard se basó en las propiedades de la función lambda modular , generalmente denotada por λ, y que realiza, usando terminología moderna, la cobertura universal holomórfica del plano dos veces perforado por el disco unitario. Esta función se construye explícitamente en la teoría de funciones elípticas . Si f omite dos valores, entonces la composición de f con la inversa de la función modular mapea el plano en el disco unitario, lo que implica que f es constante según el teorema de Liouville.
Este teorema es un fortalecimiento significativo del teorema de Liouville que establece que la imagen de una función no constante completa debe ser ilimitada . Más tarde se encontraron muchas pruebas diferentes del teorema de Picard y el teorema de Schottky es una versión cuantitativa del mismo. En el caso de que a los valores de f les falte un solo punto, este punto se denomina valor lacunar de la función.
Teorema del gran Picard: si una función analítica f tiene una singularidad esencial en un punto w , entonces, en cualquier vecindario perforado de w , f ( z ) toma todos los valores complejos posibles, con como máximo una única excepción, con una frecuencia infinita.
Este es un fortalecimiento sustancial del teorema de Casorati-Weierstrass , que solo garantiza que el rango de f es denso en el plano complejo. Un resultado del Gran Teorema de Picard es que cualquier función no polinomial completa alcanza todos los valores complejos posibles infinitamente a menudo, con como máximo una excepción.
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