En matemáticas , la función lambda modular elíptica λ (τ) es una función holomórfica altamente simétrica en el semiplano superior complejo . Es invariante bajo la acción lineal fraccionaria del grupo de congruencia Γ (2), y genera el campo de función del cociente correspondiente, es decir, es un Hauptmodul para la curva modular X (2). Sobre cualquier punto τ, su valor puede describirse como una relación cruzada de los puntos de ramificación de una doble cobertura ramificada de la línea proyectiva por la curva elíptica , donde el mapa se define como el cociente por la involución [−1].
La expansión q, donde es el nombre , viene dado por:
Simetrizando la función lambda bajo la acción canónica del grupo simétrico S 3 sobre X (2), y luego normalizándola adecuadamente, se obtiene una función en el semiplano superior que es invariante bajo el grupo modular completo, y de hecho es invariante j modular de Klein .
Propiedades modulares
La función es invariante en el grupo generado por [1]
Los generadores del grupo modular actúan mediante [2]
En consecuencia, la acción del grupo modular sobre es el del grupo anarmónico , dando los seis valores de la relación cruzada : [3]
Relaciones con otras funciones elípticas
Es el cuadrado del módulo de Jacobi , [4] es decir,. En términos de la función eta de Dedekind y funciones theta , [4]
y,
En términos de los medios períodos de las funciones elípticas de Weierstrass , supongamosser un par fundamental de períodos con.
tenemos [4]
Dado que los tres valores de medio período son distintos, esto muestra que λ no toma el valor 0 o 1. [4]
La relación con el invariante j es [6] [7]
que es la j -invariante de la curva elíptica de la forma de Legendre
Módulo elíptico
Definición y cálculo de lambda-star
La función λ * (x) da el valor del módulo elíptico k, para el cual la integral elíptica completa del primer tipo K (k) y su contraparte complementaria están relacionados por la siguiente expresión:
Los valores de λ * (x) se pueden calcular de la siguiente manera:
Las funciones λ * y λ están relacionadas entre sí de esta manera:
Propiedades de lambda-star
Todo valor λ * de un número racional positivo es un número algebraico positivo :
Las integrales elípticas del primer y segundo tipo de estos valores especiales λ * se denominan valores singulares integrales elípticos. Todos ellos pueden expresarse mediante polinomios de la función gamma , como lo demostraron Selberg y Chowla en 1967.
La siguiente expresión es válida para todos los n ∈ ℕ:
En esta fórmula, dn es la función elíptica de Jacobi delta amplitudinis.
Al conocer un valor de λ *, esta fórmula se puede utilizar para calcular los valores de λ * relacionados:
En esa fórmula, sn es la función elíptica de Jacobi sinus amplitudinis. Esa fórmula funciona para todos los números naturales.
Otras relaciones:
Estas son las relaciones entre lambda-star y la función Ramanujan-G:
Valores especiales
Valores de estrella lambda de números enteros de tipo 4n-3:
Valores de estrella lambda de números enteros de tipo 4n-2:
Valores de estrella lambda de números enteros de tipo 4n-1:
Valores de estrella lambda de números enteros de tipo 4n:
Valores de estrella lambda de fracciones racionales:
Otras apariciones
Teorema del pequeño Picard
La función lambda se utiliza en la prueba original del teorema de Little Picard , que un toda función no constante en el plano complejo no puede omitir más de un valor. Este teorema fue probado por Picard en 1879. [8] Suponga si es posible que f es entero y no toma los valores 0 y 1. Como λ es holomórfico, tiene un inverso holomórfico local ω definido fuera de 0,1, ∞. Considere la función z → ω ( f ( z )). Según el teorema de la monodromía, esto es holomórfico y asigna el plano complejo C al semiplano superior. A partir de esto, es fácil construir una función holomórfica desde C hasta el disco unitario, que según el teorema de Liouville debe ser constante. [9]
Luz de la luna
La función es el Hauptmodul normalizado para el grupo, y su q -expansion, OEIS : A007248 donde, es el carácter graduado de cualquier elemento en la clase de conjugación 4C del grupo de monstruos que actúa sobre el álgebra de vértices de monstruos .
Notas al pie
Referencias
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
- Chandrasekharan, K. (1985), Funciones elípticas , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 281 , Springer-Verlag , págs. 108-121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
- Conway, John Horton ; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 11 (3): 308–339, doi : 10.1112 / blms / 11.3.308 , MR 0554399 , Zbl 0424.20010
- Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020
- Reinhardt, WP; Walker, PL (2010), "Función modular elíptica" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Borwein, JM y Borwein, PB Pi & the AGM: Un estudio en teoría analítica de números y complejidad computacional. Nueva York: Wiley, págs.139 y 298, 1987.
- Conway, JH y Norton, SP "Monstrous Moonshine". Toro. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.
- Selberg, A. y Chowla, S. "Sobre la función Zeta de Epstein". J. reine angew. Matemáticas. 227, 86-110, 1967.