En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de Casorati-Weierstrass describe el comportamiento de las funciones holomórficas cerca de sus singularidades esenciales . Lleva el nombre de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y Felice Casorati . En la literatura rusa se le llama teorema de Sokhotski .
Declaración formal del teorema
Comience con algún subconjunto abierto en el plano complejo que contiene el númeroy una función eso es holomórfico en, pero tiene una singularidad esencial en . El teorema de Casorati-Weierstrass luego establece que
Esto también se puede afirmar de la siguiente manera:
- para cualquier y un número complejo , existe un número complejo en con y .
O en términos aún más descriptivos:
- se acerca arbitrariamente a cualquier valor complejo en cada vecindario de .
El teorema está considerablemente reforzado por el gran teorema de Picard , que establece, en la notación anterior, queasume todos los valores complejos, con una posible excepción, infinitamente a menudo en.
En el caso de que es una función completa y, el teorema dice que los valores abordar cada número complejo y , como tiende al infinito. Es notable que esto no sea válido para mapas holomórficos en dimensiones superiores, como muestra el famoso ejemplo de Pierre Fatou . [1]
Ejemplos de
La función f ( z ) = exp (1 / z ) tiene una singularidad esencial en 0, pero la función g ( z ) = 1 / z 3 no la tiene (tiene un polo en 0).
Considere la función
Esta función tiene la siguiente serie de Taylor sobre el punto singular esencial en 0:
Porque existe para todos los puntos z ≠ 0 sabemos que ƒ ( z ) es analítica en una vecindad perforada de z = 0. Por lo tanto, es una singularidad aislada , además de ser una singularidad esencial .
Usando un cambio de variable a coordenadas polares nuestra función, ƒ ( z ) = e 1 / z se convierte en:
Tomando el valor absoluto de ambos lados:
Por tanto, para valores de θ tales que cos θ > 0, tenemos como , y para , como .
Considere lo que sucede, por ejemplo, cuando z toma valores en un círculo de diámetro 1 / R tangente al eje imaginario. Este círculo está dado por r = (1 / R ) cos θ . Luego,
y
Por lo tanto,puede adoptar cualquier valor positivo distinto de cero mediante la elección apropiada de R . Como en el circulo, con R fijo. Entonces esta parte de la ecuación:
toma todos los valores del círculo unitario con una frecuencia infinita. Por lo tanto, f ( z ) toma el valor de cada número en el plano complejo, excepto el cero, infinitamente a menudo.
Prueba del teorema
Una breve demostración del teorema es la siguiente:
Supongamos que la función f es meromórfica en algún vecindario perforado V \ { z 0 }, y que z 0 es una singularidad esencial. Suponga, a modo de contradicción, que existe algún valor b al que la función nunca puede acercarse; es decir: suponga que hay algún valor complejo by algún ε> 0 tal que | f ( z ) - b | ≥ ε para todo z en V en el que se define f .
Entonces la nueva función:
debe ser holomórfica en V \ { z 0 }, con ceros en los polos de f , y limitada por 1 / ε. Por lo tanto, se puede continuar analíticamente (o de forma continua extendida, o holomórficamente extendido) a todos de V por teorema continuación analítica de Riemann . Entonces, la función original se puede expresar en términos de g :
para todos los argumentos z en V \ { z 0 }. Considere los dos casos posibles para
Si el límite es 0, entonces f tiene un polo en z 0 . Si el límite no es 0, entonces z 0 es una singularidad removible de f . Ambas posibilidades contradicen el supuesto de que el punto z 0 es una singularidad esencial de la función f . Por tanto, la suposición es falsa y el teorema se cumple.
Historia
Collingwood y Lohwater describen la historia de este importante teorema . [2] Fue publicado por Weierstrass en 1876 (en alemán) y por Sokhotski en 1868 en su tesis de maestría (en ruso). Por eso se llamó teorema de Sokhotski en la literatura rusa y teorema de Weierstrass en la literatura occidental. El mismo teorema fue publicado por Casorati en 1868 y por Briot y Bouquet en la primera edición de su libro (1859). [3] Sin embargo, Briot y Bouquet eliminaron este teorema de la segunda edición (1875).
Referencias
- ^ Fatou, P. (1922). "Sur les fonctions meromorphes de deux variables". Comptes rendus . 175 . págs. 862, 1030.
- ^ Collingwood, E; Lohwater, A (1966). La teoría de los conjuntos de conglomerados . Prensa de la Universidad de Cambridge .
- ^ Briot, Ch; Ramo, C (1859). Theorie des fonctions doublement periodiques, et en particulier, des fonctions elliptiques . París.
- Sección 31, Teorema 2 (págs. 124-125) de Knopp, Konrad (1996), Teoría de funciones , Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-69219-7