Regla de Littlewood-Richardson

En matemáticas , la regla de Littlewood-Richardson es una descripción combinatoria de los coeficientes que surgen al descomponer un producto de dos funciones de Schur como una combinación lineal de otras funciones de Schur. Estos coeficientes son números naturales, que la regla de Littlewood-Richardson describe como contar ciertos cuadros sesgados . Ocurren en muchos otros contextos matemáticos, por ejemplo, como multiplicidad en la descomposición de productos tensoriales de representaciones de dimensiones finitas de grupos lineales generales , o en la descomposición de ciertas representaciones inducidas en la teoría de representación del grupo simétrico., o en el área de combinatoria algebraica que trata con cuadros de Young y polinomios simétricos .

Los coeficientes de Littlewood-Richardson dependen de tres particiones , digamos , de las cuales y describen las funciones de Schur que se multiplican, y dan la función de Schur de la cual este es el coeficiente en la combinación lineal; en otras palabras, son los coeficientes tales que${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.}$

La regla de Littlewood-Richardson establece que es igual al número de cuadros Littlewood-Richardson de forma sesgada y de peso .${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle \nu /\lambda }$${\displaystyle \mu }$

Historia

Desafortunadamente, la regla de Littlewood-Richardson es mucho más difícil de probar de lo que se sospechaba al principio. Una vez le dijeron al autor que la regla de Littlewood-Richardson ayudó a que los hombres llegaran a la luna, pero no se demostró hasta que llegaron allí.

Gordon James ( 1987 )

La regla de Littlewood-Richardson fue establecida por primera vez por DE Littlewood y AR Richardson  ( 1934 , teorema III p. 119), pero aunque la afirmaron como un teorema, solo la demostraron en algunos casos especiales bastante simples. Robinson  ( 1938 ) afirmó completar su prueba, pero su argumento tenía lagunas, aunque estaba escrito de manera tan oscura que estas lagunas no se notaron durante algún tiempo, y su argumento se reproduce en el libro ( Littlewood 1950 ). Macdonald (1995) llenó posteriormente algunas de las lagunas . Las primeras pruebas rigurosas de la regla se dieron cuatro décadas después de su descubrimiento, por Schützenberger ( 1977 ) y Thomas (1974)., después de que C. Schensted  ( 1961 ), Schützenberger ( 1963 ) y Knuth  ( 1970 ) desarrollaron la teoría combinatoria necesaria en su trabajo sobre la correspondencia Robinson-Schensted . Ahora hay varias pruebas breves de la regla, como ( Gasharov 1998 ) y ( Stembridge 2002 ) que utilizan involuciones de Bender-Knuth . Littelmann (1994) utilizó el modelo de trayectoria de Littelmann para generalizar la regla de Littlewood-Richardson a otros grupos de Lie semisimplejos.

La regla Littlewood-Richardson es conocida por la cantidad de errores que aparecieron antes de su prueba completa y publicada. Varios intentos publicados para demostrarlo son incompletos, y es particularmente difícil evitar errores al hacer cálculos manuales con él: incluso el ejemplo original en DE Littlewood y AR Richardson ( 1934 ) contiene un error.

Cuadros de Littlewood-Richardson

Un cuadro de Littlewood-Richardson

Un cuadro de Littlewood-Richardson es un cuadro semiestándar sesgado con la propiedad adicional de que la secuencia obtenida al concatenar sus filas invertidas es una palabra de celosía (o permutación de celosía), lo que significa que en cada parte inicial de la secuencia cualquier número aparece al menos con la misma frecuencia como el número . Otra caracterización equivalente (aunque no del todo obvia) es que el cuadro en sí, y cualquier cuadro obtenido de él eliminando algunas de sus columnas más a la izquierda, tiene un peso ligeramente decreciente. Se han encontrado muchas otras nociones combinatorias que resultan estar en combinación con los cuadros de Littlewood-Richardson y, por lo tanto, también pueden usarse para definir los coeficientes de Littlewood-Richardson.${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$

Otro cuadro de Littlewood-Richardson

Ejemplo

Considere el caso de que , y . Entonces, el hecho de que se pueda deducir del hecho de que los dos cuadros que se muestran a la derecha son los únicos dos cuadros de Littlewood-Richardson de forma y peso${\displaystyle \lambda =(2,1)}$${\displaystyle \mu =(3,2,1)}$${\displaystyle \nu =(4,3,2)}$${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }=2}$${\displaystyle \nu /\lambda }$${\displaystyle \mu }$. De hecho, dado que el último cuadro de la primera línea no vacía del diagrama de sesgo solo puede contener una entrada 1, toda la primera línea debe llenarse con las entradas 1 (esto es cierto para cualquier cuadro de Littlewood-Richardson); en el último cuadro de la segunda fila solo podemos colocar un 2 por el rigor de la columna y el hecho de que nuestra palabra de celosía no puede contener una entrada más grande antes de que contenga un 2. Para el primer cuadro de la segunda fila ahora podemos usar un 1 o un 2. Una vez que se elige esa entrada, la tercera fila debe contener las entradas restantes para hacer el peso (3,2,1), en un orden ligeramente creciente, por lo que no nos queda más opción; en ambos casos resulta que sí encontramos un cuadro de Littlewood-Richardson.

Una descripción más geométrica

La condición de que la secuencia de entradas leídas del cuadro en un orden algo peculiar forme una palabra reticular puede ser reemplazada por una condición más local y geométrica. Dado que en un cuadro semiestándar las entradas iguales nunca ocurren en la misma columna, se pueden numerar las copias de cualquier valor de derecha a izquierda, que es su orden de aparición en la secuencia que debería ser una palabra de celosía. Llame al número asociado a cada entrada su índice y escriba una entrada i con el índice j como i [ j ]. Ahora bien, si algún cuadro de Littlewood-Richardson contiene una entrada con índice j , entonces esa entrada i [ j ] debería aparecer en una fila estrictamente debajo de la de${\displaystyle i>1}$${\displaystyle (i-1)[j]}$(lo que ciertamente también ocurre, ya que la entrada i  - 1 ocurre con la misma frecuencia que la entrada i ). De hecho, la entrada i [ j ] también debería aparecer en una columna no más a la derecha que esa misma entrada (que a primera vista parece ser una condición más estricta). Si el peso del cuadro de Littlewood-Richardson se fija de antemano, entonces se puede formar una colección fija de entradas indexadas, y si estas se colocan de manera que se respeten esas restricciones geométricas, además de las de los cuadros semiestándar y la condición de que las copias indexadas de las mismas entradas deben respetar el orden de derecha a izquierda de los índices, entonces se garantiza que los cuadros resultantes serán cuadros de Littlewood-Richardson.${\displaystyle (i-1)[j]}$

Una forma algorítmica de la regla

El Littlewood-Richardson como se indicó anteriormente da una expresión combinatoria para los coeficientes individuales de Littlewood-Richardson, pero no da ninguna indicación de un método práctico para enumerar los cuadros de Littlewood-Richardson con el fin de encontrar los valores de estos coeficientes. De hecho, dado que no existe un criterio simple para determinar si existe algún cuadro de Littlewood-Richardson de forma y peso (aunque hay una serie de condiciones necesarias, la más simple de las cuales es ); por lo tanto, parece inevitable que en algunos casos uno tenga que pasar por una búsqueda elaborada, solo para encontrar que no existen soluciones.${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$${\displaystyle \nu /\lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle |\lambda |+|\mu |=|\nu |}$

Sin embargo, la regla conduce a un procedimiento bastante eficiente para determinar la descomposición completa de un producto de funciones de Schur, en otras palabras, para determinar todos los coeficientes para λ y μ fijos, pero con ν variable. Esto fija el peso de los cuadros Littlewood-Richardson que se van a construir y la "parte interior" λ de su forma, pero deja libre la "parte exterior" ν. Dado que se conoce el peso, el conjunto de entradas indexadas en la descripción geométrica es fijo. Ahora, para las sucesivas entradas indexadas, todas las posiciones posibles permitidas por las restricciones geométricas se pueden probar en una búsqueda de retroceso . Las entradas se pueden probar en orden creciente, mientras que entre entradas iguales se pueden probar con un índice decreciente . El último punto es la clave para la eficiencia del procedimiento de búsqueda:la entrada${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$i [ j ] se restringe entonces a estar en una columna a la derecha de , pero no más a la derecha que (si tales entradas están presentes). Esto restringe fuertemente el conjunto de posiciones posibles, pero siempre deja al menos una posición válida para ; por lo tanto, cada ubicación de una entrada dará lugar a al menos un cuadro completo de Littlewood-Richardson, y el árbol de búsqueda no contiene callejones sin salida.${\displaystyle i[j+1]}$${\displaystyle i-1[j]}$${\displaystyle i[j]}$

Se puede usar un método similar para encontrar todos los coeficientes para λ y ν fijos, pero variando μ.${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

Coeficientes de Littlewood-Richardson

Los coeficientes de Littlewood-Richardson c^ν
_λμ   aparecen de las siguientes formas interrelacionadas:

• Son las constantes de estructura para el producto en el anillo de funciones simétricas con respecto a la base de funciones de Schur.

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }s_{\nu }}$

o equivalentemente c^ν
_λμ   es el producto interno de s _ν y s _λ s _μ .

• Expresan funciones de Schur sesgadas en términos de funciones de Schur

${\displaystyle s_{\nu /\lambda }=\sum _{\mu }c_{\lambda \mu }^{\nu }s_{\mu }.}$

• La c^ν
  _λμ   aparecen como números de intersección en un Grassmannian :

${\displaystyle \sigma _{\lambda }\sigma _{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }\sigma _{\nu }}$

donde σ _μ es la clase de la variedad Schubert de un Grassmanniano correspondiente a  μ .

• C^ν
  _λμ   es el número de veces la representación irreducible V _λ ⊗ V _μ del producto de grupos simétricos S _{| λ |} × S _{| μ |} aparece en la restricción de la representación V _ν de S _{| ν |} a S _{| λ |} × S _{| μ |} . Por reciprocidad de Frobenius, este es también el número de veces que V _ν aparece en la representación de S _{| ν|} inducida por V _λ  ⊗  V _μ .
• La c^ν
  _λμ   aparecen en la descomposición del producto tensorial ( Fulton 1997 ) de dos módulos de Schur (representaciones irreductibles de grupos lineales especiales)

${\displaystyle E^{\lambda }\otimes E^{\mu }=\bigoplus _{\nu }(E^{\nu })^{\oplus c_{\lambda \mu }^{\nu }}.}$

• C^ν
  _λμ   es el número de cuadros de Young estándar de forma ν / μ que son jeu de taquin equivalente a algún cuadro de Young estándar fijo de forma  λ .
• C^ν
  _λμ   es el número de cuadros de Littlewood-Richardson de forma ν / λ y de peso  μ .
• C^ν
  _λμ   es el número de imágenes entre μ y ν / λ.

Casos especiales

La fórmula de Pieri

La fórmula de Pieri , que es el caso especial de la regla de Littlewood-Richardson en el caso en que una de las particiones tiene solo una parte , establece que

${\displaystyle S_{\mu }S_{n}=\sum _{\lambda }S_{\lambda }}$

donde S _n es la función de Schur de una partición con una fila y la suma es sobre todas las particiones λ obtenidas de μ al agregar n elementos a su diagrama de Ferrers , no hay dos en la misma columna.

Tabiques rectangulares

Si ambas particiones tienen forma rectangular , la suma también es libre de multiplicidad ( Okada 1998 ). Fijar un , b , p , y q números enteros positivos con p q . Denote por la partición con p partes de longitud a . Las particiones que indexan componentes no triviales de son aquellas particiones con una longitud tal que ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle (a^{p})}$${\displaystyle s_{(a^{p})}s_{(b^{q})}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \leq p+q}$

• ${\displaystyle \lambda _{q+1}=\lambda _{q+2}=\cdots =\lambda _{p}=a,}$
• ${\displaystyle \lambda _{q}\geq \mathrm {max} (a,b)}$
• ${\displaystyle \lambda _{i}+\lambda _{p+q-i+1}=a+b,\quad {i=1,\dots ,q}.}$

Por ejemplo,

.

Generalizaciones

Coeficientes de Kronecker reducidos del grupo simétrico

El coeficiente de Kronecker reducido del grupo simétrico es una generalización de tres diagramas de Young arbitrarios , que es simétrico bajo las permutaciones de los tres diagramas. ${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }}$${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$

Funciones Skew Schur

Zelevinsky (1981) extendió la regla de Littlewood-Richardson para sesgar las funciones de Schur de la siguiente manera:

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu /\nu }=\sum _{\lambda +\omega (T_{\geq j})\in P}s_{\lambda +\omega (T)}}$

donde la suma es sobre todos los cuadros T en μ / ν tal que para todo j , la secuencia de enteros λ + ω ( T _{≥ j} ) no es creciente, y ω es el peso.

Números de Newell-Littlewood

Los números de Newell-Littlewood se definen a partir de los coeficientes de Littlewood-Richardson mediante la expresión cúbica ^[1]

${\displaystyle N_{\mu ,\nu ,\lambda }=\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma }c_{\alpha ,\beta }^{\mu }c_{\alpha ,\gamma }^{\nu }c_{\beta ,\gamma }^{\lambda }}$

Los números de Newell-Littlewood dan algunas de las multiplicidades del producto tensorial de las representaciones de dimensión finita de los grupos de Lie clásicos de los tipos .${\displaystyle B,C,D}$

La condición de no desaparición en los tamaños de diagrama de Young conduce a ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }\neq 0\implies |\lambda |+|\mu |=|\nu |}$

${\displaystyle N_{\mu ,\nu ,\lambda }\neq 0\implies \left\{{\begin{array}{l}||\lambda |-|\mu ||\leq |\nu |\leq |\lambda |+|\mu |\\|\lambda |+|\mu |+|\nu |\in 2\mathbb {Z} \end{array}}\right.}$

Los números de Newell-Littlewood son generalizaciones de los coeficientes de Littlewood-Richardson en el sentido de que

${\displaystyle |\mu |+|\nu |=|\lambda |\implies N_{\mu ,\nu ,\lambda }=c_{\mu ,\nu }^{\lambda }}$

Los números de Newell-Littlewood que involucran un diagrama de Young con una sola fila obedecen a una regla tipo Pieri: es el número de formas de eliminar cuadros de (de diferentes columnas), luego agregar cuadros (a diferentes columnas) para hacer . ^[1]${\displaystyle N_{(k),\mu ,\nu }}$${\displaystyle {\frac {k+|\mu |-|\nu |}{2}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\frac {k-|\mu |+|\nu |}{2}}}$${\displaystyle \nu }$

Los números de Newell-Littlewood son las constantes de estructura de un álgebra asociativa y conmutativa cuyos elementos básicos son particiones, con el producto . Por ejemplo,${\displaystyle \mu \times \nu =\sum _{\lambda }N_{\mu ,\nu ,\lambda }\lambda }$

${\displaystyle (1)\times (k)=(k-1)+(k+1)+(k,1)\quad {\text{(Newell-Littlewood)}}}$

${\displaystyle (1)\times (k)=(k+1)+(k,1)\quad {\text{(Littlewood-Richardson)}}}$

Ejemplos de

Los ejemplos de coeficientes de Littlewood-Richardson a continuación se dan en términos de productos de polinomios de Schur S _π , indexados por particiones π, usando la fórmula

${\displaystyle S_{\lambda }S_{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }S_{\nu }.}$

Todos los coeficientes con ν como máximo 4 vienen dados por:

• S ₀ S _π = S _π para cualquier π. donde S ₀ = 1 es el polinomio de Schur de la partición vacía
• S ₁ S ₁ = S ₂ + S ₁₁
• S ₂ S ₁ = S ₃ + S ₂₁
• S ₁₁ S ₁ = S ₁₁₁ + S ₂₁
• S ₃ S ₁ = S ₄ + S ₃₁
• S ₂₁ S ₁ = S ₃₁ + S ₂₂ + S ₂₁₁
• S ₂ S ₂ = S ₄ + S ₃₁ + S ₂₂
• S ₂ S ₁₁ = S ₃₁ + S ₂₁₁
• S ₁₁₁ S ₁ = S ₁₁₁₁ + S ₂₁₁
• S ₁₁ S ₁₁ = S ₁₁₁₁ + S ₂₁₁ + S ₂₂

La mayoría de los coeficientes para particiones pequeñas son 0 o 1, lo que ocurre en particular cuando uno de los factores es de la forma S _n o S _{11 ... 1} , debido a la fórmula de Pieri y su contraparte transpuesta. El ejemplo más simple con un coeficiente mayor que 1 ocurre cuando ninguno de los factores tiene esta forma:

• S ₂₁ S ₂₁ = S ₄₂ + S ₄₁₁ + S ₃₃ + 2 S ₃₂₁ + S ₃₁₁₁ + S ₂₂₂ + S ₂₂₁₁ .

Para particiones más grandes, los coeficientes se vuelven más complicados. Por ejemplo,

• S ₃₂₁ S ₃₂₁ = S ₆₄₂ + S ₆₄₁₁ + S ₆₃₃ +2 S ₆₃₂₁ + S ₆₃₁₁₁ + S ₆₂₂₂ + S ₆₂₂₁₁ + S ₅₅₂ + S ₅₅₁₁ +2 S ₅₄₃ +4 S ₅₄₂₁ +2 S ₅₄₁₁₁ +3 S ₅₃₃₁ +3 S ₅₃₂₂ +4 S ₅₃₂₁₁ + S ₅₃₁₁₁₁ +2 S ₅₂₂₂₁+ S ₅₂₂₁₁₁ + S ₄₄₄ +3 S ₄₄₃₁ +2 S ₄₄₂₂ +3 S ₄₄₂₁₁ + S ₄₄₁₁₁₁ +3 S ₄₃₃₂ +3 S ₄₃₃₁₁ +4 S ₄₃₂₂₁ +2 S ₄₃₂₁₁₁ + S ₄₂₂₂₂ + S ₄₂₂₂₁₁ + S ₃₃₃₃ +2 S ₃₃₃₂₁ + S ₃₃₃₁₁₁ + S ₃₃₂₂₂ + S ₃₃₂₂₁₁ con 34 términos y multiplicidad total 62, y el coeficiente más grande es 4
• S ₄₃₂₁ S ₄₃₂₁ es una suma de 206 términos con la multiplicidad total es 930 y el coeficiente más grande es 18.
• S ₅₄₃₂₁ S ₅₄₃₂₁ es una suma de 1433 términos con multiplicidad total 26704, y el coeficiente más grande (el de S _86543211 ) es 176.
• S ₆₅₄₃₂₁ S ₆₅₄₃₂₁ es una suma de 10873 términos con la multiplicidad total es 1458444 (por lo que el valor promedio de los coeficientes es más de 100 y pueden ser tan grandes como 2064).

El ejemplo original dado por Littlewood & Richardson (1934 , p. 122-124) fue (después de corregir 3 cuadros que encontraron pero se olvidaron de incluir en la suma final)

• S ₄₃₁ S ₂₂₁ = S ₆₅₂ + S ₆₅₁₁ + S ₆₄₃ + 2 S ₆₄₂₁ + S ₆₄₁₁₁ + S ₆₃₃₁ + S ₆₃₂₂ + S ₆₃₂₁₁ + S ₅₅₃ + 2 S ₅₅₂₁ + S ₅₅₁₁₁ + 2 S ₅₄₃₁ + 2 S ₅₄₂₂ + 3 S ₅₄₂₁₁ + S ₅₄₁₁₁₁ + S ₅₃₃₂ + S₅₃₃₁₁ + 2 S ₅₃₂₂₁ + S ₅₃₂₁₁₁ + S ₄₄₃₂ + S ₄₄₃₁₁ + 2 S ₄₄₂₂₁ + S ₄₄₂₁₁₁ + S ₄₃₃₂₁ + S ₄₃₂₂₂ + S ₄₃₂₂₁₁

con 26 términos procedentes de los siguientes 34 cuadros:

.... 11 .... 11 .... 11 .... 11 .... 11 .... 11 .... 11 .... 11 .... 11
... 22 ... 22 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... ... ...
.3. .23 .2 .3. .22 .2 .2 3 3 2 2 3 23 2 3 3
.... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1
... 12 ... 12 ... 12 ... 12 ... 1 ... 1 ... 1 ... 2 ... 1
.23 .2 .3. .23 .22 .2 .1 .2 3 2 2 2 3 23 23 2 3 3
.... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1 .... 1
... 2 ... 2 ... 2 ... ... ... ... ...
.1 .3. .12 .12 .1 .2 .2
2 1 1 23 2 22 13 1
3 2 2 3 3 2 2 3 3
.... .... .... .... .... .... .... .... ....
... 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... ... ...
.12 .12 .1 .2 .2 .11 .1 .1
23 2 22 13 1 22 12 12 3 3 2 2 3 23 2 3 3

El cálculo de las funciones de sesgo de Schur es similar. Por ejemplo, los 15 cuadros de Littlewood-Richardson para ν = 5432 y λ = 331 son

... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... 11 ... .11 ... 11 ... 11
... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2 .. .2 ... 2 ... 2
.11 .11 .11 .12 .11 .12 .13 .13 .23 .13 .13 .12 .12 .23 .23
12 13 22 12 23 13 12 24 14 14 22 23 33 13 34

entonces S _5432/331 = Σ c^ν
_λμ  S _μ = S ₅₂ + S ₅₁₁ + S ₄₁₁₁ + S ₂₂₂₁ + 2 S ₄₃ + 2 S ₃₂₁₁ + 2 S ₃₂₂ + 2 S ₃₃₁ + 3 S ₄₂₁ ( Fulton 1997 , p. 64).

Notas

1. Gao, Shiliang; Orelowitz, Gidon; Yong, Alexander (18 de mayo de 2020). "Números de Newell-Littlewood". arXiv : 2005.09012v1 [ math.CO ].

Referencias

• Fulton, William (1997), Young tableaux , London Mathematical Society Student Texts, 35 , Cambridge University Press , pág. 121, ISBN 978-0-521-56144-0, Señor  1464693
• Gasharov, Vesselin (1998), "A short proof of the Littlewood-Richardson rule" , European Journal of Combinatorics , 19 (4): 451–453, doi : 10.1006 / eujc.1998.0212 , ISSN  0195-6698 , MR  1630540
• James, Gordon (1987), "La teoría de la representación de los grupos simétricos", The Arcata Conference on Representations of Finite Groups (Arcata, Calif., 1986) , Proc. Simpos. Pure Math., 47 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 111-126, MR  0933355
• Knuth, Donald E. (1970), "Permutaciones, matrices y cuadros de Young generalizados" , Pacific Journal of Mathematics , 34 (3): 709–727, doi : 10.2140 / pjm.1970.34.709 , ISSN  0030-8730 , MR  0272654
• Littelmann, Peter (1994), "Una regla de Littlewood-Richardson para álgebras Kac-Moody simetrizables" (PDF) , Invent. Matemáticas. , 116 : 329–346, Bibcode : 1994InMat.116..329L , doi : 10.1007 / BF01231564 , S2CID  85546837
• Littlewood, Dudley E. (1950), La teoría de los caracteres grupales y las representaciones matriciales de grupos , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4067-2, MR  0002127
• Littlewood, DE; Richardson, AR (1934), "Caracteres grupales y álgebra", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico , The Royal Society, 233 (721–730): 99–141, Bibcode : 1934RSPTA.233 ... 99L , doi : 10.1098 / rsta.1934.0015 , ISSN  0264-3952 , JSTOR  91293
• Macdonald, IG (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , Oxford Mathematical Monographs (2a ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR  1354144 , archivado desde el original el 11 de diciembre de 2012
• Okada, Soichi (1998), "Aplicaciones de fórmulas de suma menor a representaciones de forma rectangular de grupos clásicos", Journal of Algebra , 205 (2): 337–367, doi : 10.1006 / jabr.1997.7408 , ISSN  0021-8693 , MR  1632816
• Robinson, G. de B. (1938), "Sobre las representaciones del grupo simétrico", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 60 (3): 745–760, doi : 10.2307 / 2371609 , ISSN  0002- 9327 , JSTOR  2371609 Zbl 0019.25102
• Schensted, C. (1961), "Las subsecuencias crecientes y decrecientes más largas" , Canadian Journal of Mathematics , 13 : 179-191, doi : 10.4153 / CJM-1961-015-3 , ISSN  0008-414X , MR  0121305
• Schützenberger, MP (1963), "Quelques remarques sur une construction de Schensted", Mathematica Scandinavica , 12 : 117-128, doi : 10.7146 / math.scand.a-10676 , ISSN  0025-5521 , MR  0190017
• Schützenberger, Marcel-Paul (1977), "La correspondance de Robinson" , Combinatoire et représentation du groupe symétrique (Actes Table Ronde CNRS, Univ. Louis-Pasteur Estrasburgo, Estrasburgo, 1976) , Lecture Notes in Mathematics, 579 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs.  59-113 , doi : 10.1007 / BFb0090012 , ISBN 978-3-540-08143-2, MR  0498826
• Stembridge, John R. (2002), "Una prueba concisa de la regla de Littlewood-Richardson" (PDF) , Electronic Journal of Combinatorics , 9 (1): Nota 5, 4 págs. (Electrónico), doi : 10.37236 / 1666 , ISSN  1077-8926 , MR  1912814
• Thomas, Glânffrwd P. (1974), álgebras de Baxter y funciones de Schur , Ph.D. Tesis, Swansea: University College of Swansea
• van Leeuwen, Marc AA (2001), "La regla de Littlewood-Richardson y combinatoria relacionada" (PDF) , Interacción de la combinatoria y la teoría de la representación , MSJ Mem., 11 , Tokio: Matemáticas. Soc. Japón, págs. 95-145, MR  1862150
• Zelevinsky, AV (1981), "Una generalización de la regla Littlewood-Richardson y la correspondencia Robinson-Schensted-Knuth", Journal of Algebra , 69 (1): 82-94, doi : 10.1016 / 0021-8693 (81) 90128 -9 , ISSN  0.021-8.693 , MR  0613858

enlaces externos

• Un programa en línea que descompone productos de funciones de Schur utilizando la regla de Littlewood-Richardson