Tableau joven
En matemáticas , una Tabla de Young ( / t æ b l oʊ , t æ b l oʊ / ; plural: cuadros ) es una combinatoria objeto útil en teoría de la representación y cálculo Schubert . Proporciona una manera conveniente de describir las representaciones grupales de los grupos lineales simétricos y generales y de estudiar sus propiedades. Tabla de Young fueron introducidos por Alfred Young , un matemáticoen la Universidad de Cambridge , en 1900. [1] [2] Luego fueron aplicados al estudio del grupo simétrico por Georg Frobenius en 1903. Su teoría fue desarrollada por muchos matemáticos, incluidos Percy MacMahon , WVD Hodge , G. de B Robinson , Gian-Carlo Rota , Alain Lascoux , Marcel-Paul Schützenberger y Richard P. Stanley .
Un diagrama de Young (también llamado diagrama de Ferrers , particularmente cuando se representa con puntos) es una colección finita de cajas o celdas, dispuestas en filas justificadas a la izquierda, con las longitudes de las filas en orden no creciente. Enumerar el número de cajas en cada fila da una partición λ de un entero no negativo n , el número total de cajas del diagrama. Se dice que el diagrama de Young tiene forma λ y contiene la misma información que esa partición. La contención de un diagrama de Young en otro define un orden parcial en el conjunto de todas las particiones, que de hecho es una estructura de celosía , conocida como celosía de Young.. Enumerar el número de cajas de un diagrama de Young en cada columna da otra partición, la partición conjugada o transpuesta de λ ; se obtiene un diagrama de Young de esa forma reflejando el diagrama original a lo largo de su diagonal principal.
Existe un acuerdo casi universal de que al etiquetar los cuadros de los diagramas de Young por pares de números enteros, el primer índice selecciona la fila del diagrama y el segundo índice selecciona el cuadro dentro de la fila. Sin embargo, existen dos convenciones distintas para mostrar estos diagramas y, en consecuencia, tableaux: la primera coloca cada fila debajo de la anterior, la segunda apila cada fila sobre la anterior. Dado que los anglófonos utilizan principalmente la primera convención, mientras que los francófonos suelen preferir la última , se acostumbra referirse a estas convenciones respectivamente como notación inglesa y notación francesa ; por ejemplo, en su libro sobre funciones simétricas , Macdonaldaconseja a los lectores que prefieren la convención francesa a "leer este libro al revés en un espejo" (Macdonald 1979, p. 2). Esta nomenclatura probablemente comenzó como una broma. La notación inglesa corresponde a la que se usa universalmente para matrices, mientras que la notación francesa está más cerca de la convención de coordenadas cartesianas ; sin embargo, la notación francesa se diferencia de esa convención al colocar primero la coordenada vertical. La figura de la derecha muestra, usando la notación inglesa, el diagrama de Young correspondiente a la partición (5, 4, 1) del número 10. La partición conjugada, midiendo las longitudes de las columnas, es (3, 2, 2, 2, 1).
En muchas aplicaciones, por ejemplo, al definir funciones de Jack , es conveniente definir la longitud del brazo a λ ( s ) de una caja s como el número de cajas a la derecha de s en el diagrama λ en notación inglesa. De manera similar, la longitud del cateto l λ ( s ) es el número de casillas debajo de s . La longitud del gancho de una casilla s es el número de casillas a la derecha de so debajo de s en notación inglesa, incluida la casilla s misma; en otras palabras, la longitud del gancho es un λ( s ) + l λ ( s ) + 1.
