En matemáticas, las representaciones de dimensión finita de los complejos grupos de Lie clásicos , , , , , se puede construir utilizando la teoría de representación general de álgebras de Lie semisimple . Los grupos, , son de hecho grupos de Lie simples , y sus representaciones de dimensión finita coinciden [1] con las de sus subgrupos compactos máximos , respectivamente, , . En la clasificación de álgebras de Lie simples , las álgebras correspondientes son
Sin embargo, dado que los grupos de Lie clásicos complejos son grupos lineales , sus representaciones son representaciones de tensor . Cada representación irreducible está etiquetada por un diagrama de Young , que codifica su estructura y propiedades.
Grupo lineal general y grupo lineal especial
Construcción de Weyl
Dejar ser la representación definitoria de . Cualquier representación irreducible de dimensión finita dees una representación tensorial , es decir, una subrepresentación de por algún entero .
Las subrepresentaciones irreductibles de son las imágenes de por Schur functors asociado a particiones de en como máximo enteros, es decir, diagramas de tamaño de Young con . (Si luego .) Los functores de Schur se definen utilizando simétricos jóvenes del grupo simétrico , que actúa naturalmente sobre . Nosotros escribimos.
Las dimensiones de las representaciones irreductibles son [1]
dónde es la longitud del gancho de la celda en el diagrama de Young .
- La primera fórmula para la dimensión es un caso especial de una fórmula que da los caracteres de las representaciones en términos de polinomios de Schur , [1] dónde son los valores propios de .
- La segunda fórmula para la dimensión a veces se llama fórmula de contenido de gancho de Stanley . [2]
Ejemplos de
Representación irreducible de | Dimensión | Diagrama joven |
---|---|---|
Representación trivial | ||
Representación determinante | ||
Definición de representación | ||
Representación adjunta | ||
Representación simétrica | ||
Representación antisimétrica |
Caso de
Dos representaciones de son equivalentes como representaciones de si y solo si hay tal que . [1] En particular, la representación determinante es trivial en , es decir, es equivalente a .
Productos tensores
Productos tensoriales de representaciones de dimensiones finitas de son [1]
donde los enteros naturales son los coeficientes de Littlewood-Richardson . Por ejemplo,
Grupo ortogonal y grupo ortogonal especial
Además de las representaciones de grupos de Lie descritas aquí, los grupos ortogonales y ortogonales especiales tienen representaciones de espín , que son representaciones proyectivas de estos grupos, es decir, representaciones de sus grupos de cobertura universales .
Construcción de representaciones
Desde es un subgrupo de , cualquier representación irreductible de es también una representación de , que, sin embargo, puede no ser irreductible. Para una representación tensorial depara ser irreductibles, los tensores no deben dejar rastro. [3]
Representaciones irreductibles de están parametrizados por un subconjunto de los diagramas de Young asociados a representaciones irreductibles de : los diagramas tales que la suma de las longitudes de las dos primeras columnas es la . [3] La representación irreductible que corresponde a tal diagrama es una subrepresentación de la correspondiente representación . Por ejemplo, en el caso de tensores simétricos, [1]
Caso de
El tensor antisimétrico es una representación unidimensional de , que es trivial para . Luego dónde se obtiene de actuando sobre la longitud de la primera columna como .
- Para extraño, las irreductibles representaciones de están parametrizados por diagramas de Young con filas.
- Para incluso, sigue siendo irreductible como representación si , pero se reduce a la suma de dos no equivalentes representaciones si . [3]
Por ejemplo, las representaciones irreductibles de corresponden a los diagramas de Young de los tipos . Las representaciones irreductibles de corresponden a las , y . Por otro lado, las dimensiones de las representaciones de espín deson incluso enteros. [1]
Dimensiones
Las dimensiones de las representaciones irreductibles de están dadas por una fórmula que depende de la paridad de : [4]
También hay una expresión como polinomio factorizado en : [4]
dónde son respectivamente las longitudes de las filas, las longitudes de las columnas y las longitudes de los ganchos . En particular, las representaciones antisimétricas tienen las mismas dimensiones que sus contrapartes, , pero las representaciones simétricas no lo hacen,
Productos tensores
En el rango estable , las multiplicidades del producto tensorial que aparecen en la descomposición del producto tensorial son números de Newell-Littlewood , que no dependen de. [5] Más allá del rango estable, las multiplicidades del producto tensorial se vuelven-Modificaciones dependientes de los números de Newell-Littlewood. [6] [5] [7]
Grupo simpléctico
Representaciones
Las representaciones irreductibles de dimensión finita de están parametrizados por diagramas de Young con como máximo filas. La dimensión de la representación correspondiente es [3]
También hay una expresión como polinomio factorizado en : [4]
Productos tensores
Al igual que en el caso del grupo ortogonal, las multiplicidades del producto tensorial vienen dadas por números de Newell-Littlewood en el rango estable y modificaciones de los mismos más allá del rango estable.
enlaces externos
- Servicio en línea Lie , una interfaz en línea para el software Lie .
Referencias
- ^ a b c d e f g William Fulton; Joe Harris (2004). "Teoría de la Representación". Textos de Posgrado en Matemáticas . doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISSN 0072-5285 . Wikidata Q55865630 .
- ^ Hawkes, Graham (19 de octubre de 2013). "Una prueba elemental de la fórmula del contenido del gancho". arXiv : 1310.5919v2 [ math.CO ].
- ^ a b c d Hamermesh, Morton (1989). Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-66181-4. OCLC 20218471 .
- ^ a b c N El Samra; RC King (diciembre de 1979). "Dimensiones de representaciones irreductibles de los grupos de Lie clásicos". Journal of Physics A . 12 (12): 2317–2328. doi : 10.1088 / 0305-4470 / 12/12/010 . ISSN 1751-8113 . Wikidata Q104601301 .
- ^ a b Gao, Shiliang; Orelowitz, Gidon; Yong, Alexander (18 de mayo de 2020). "Números de Newell-Littlewood". arXiv : 2005.09012v1 [ math.CO ].
- ^ Steven Sam (18 de enero de 2010). "Coeficientes de Littlewood-Richardson para grupos clásicos" . Tonterías concretas . Archivado desde el original el 18 de junio de 2019 . Consultado el 5 de enero de 2021 .
- ^ Kazuhiko Koike; Itaru Terada (mayo de 1987). "Métodos de diagramación de Young para la teoría de la representación de los grupos clásicos de tipo Bn, Cn, Dn". Revista de álgebra . 107 (2): 466–511. doi : 10.1016 / 0021-8693 (87) 90099-8 . ISSN 0021-8693 . Wikidata Q56443390 .